Đề bài

Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật, biết hình chữ nhật có chu vi bằng 340 m và diện tích bằng 7200${m^2}$.

Phương pháp giải

Áp dụng cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng theo định lí Viète.

Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$.

Giải phương trình để tìm chiều dài và chiều rộng (lưu ý chiều dài > chiều rộng).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì chu vi hình chữ nhật là 340 m nên tổng của chiều dài và chiểu rộng là $340:2 = 170\left( m \right)$.

Vì diện tích hình chữ nhật là 7200 ${m^2}$ nên tích của chiều dài và chiều rộng là 7200 $\left( {{m^2}} \right)$

Vì tổng của chiều dài và chiều rộng là 170 và tích của chúng bằng 7200 nên chiều dài và chiều rộng là hai nghiệm của phương trình ${X^2} - 170X + 7200 = 0$

Giải phương trình ta được ${X_1} = 80;{X_2} = 90$

Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng nên chiều dài bằng 90m, chiều rộng bằng 80m.

Vậy hình chữ nhật có chiều dài bằng 90 m và chiều rộng bằng 80 m.

Mở rộng

Lý thuyết liên quan: Bài toán này được giải quyết bằng cách áp dụng định lí Viète. Định lí Viète nêu rằng nếu hai số có tổng là S và tích là P, thì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai ${X^2} - SX + P = 0$.

Lý thuyết ứng dụng vào câu hỏi:

Nửa chu vi của hình chữ nhật chính là tổng của chiều dài và chiều rộng. Ta có tổng S của hai số cần tìm (chiều dài và chiều rộng).
Diện tích của hình chữ nhật bằng 7200 ${m^2}$. Ta có tích P của hai số cần tìm.
Theo định lí Viète, ta lập được phương trình ${X^2} - 170X + 7200 = 0$.
Giải phương trình này, ta tìm được hai nghiệm là ${X_1} = 80$ và ${X_2} = 90$. Dựa vào điều kiện chiều dài lớn hơn chiều rộng, ta xác định chiều dài bằng 90m và chiều rộng bằng 80m.

Phương pháp giải chung cho dạng bài này: Đối với bài toán tìm kích thước (chiều dài và chiều rộng) của hình chữ nhật khi biết chu vi và diện tích:

Bước 1: Tính nửa chu vi của hình chữ nhật. Nửa chu vi này chính là tổng (S) của chiều dài và chiều rộng.
Bước 2: Diện tích của hình chữ nhật chính là tích (P) của chiều dài và chiều rộng.
Bước 3: Áp dụng định lí Viète, chiều dài và chiều rộng là nghiệm của phương trình bậc hai có dạng ${X^2} - SX + P = 0$, trong đó S là tổng (nửa chu vi) và P là tích (diện tích) đã tính ở trên.
Bước 4: Giải phương trình bậc hai để tìm hai nghiệm. Hai nghiệm này chính là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Bước 5: So sánh hai nghiệm và xác định chiều dài (thường là giá trị lớn hơn) và chiều rộng (thường là giá trị nhỏ hơn hoặc bằng).

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Biết rằng phương trình ${x^2} - \left( {2a - 1} \right)x - 4a - 3 = 0$ luôn có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $a$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào $a$.

A.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5$
B.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = - 5$
C.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = 5$
D.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = - 5$

Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật, biết hình chữ nhật có chu vi bằng 340 m và diện tích bằng 7200\({m^2}\).