Công ty sản xuất thùng gỗ muốn thiết kế số lượng lớn thùng đựng hàng hóa bên trong, dang hình lăng trụ tứ giác đều không nắp với thể tích là 62,5 \(d{m^3}\). Để tiết kiệm vật gỗ làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Hỏi S có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ (dm; a > 0).

Thùng gỗ là lăng trụ tứ giác đều nên đáy thùng là hình vuông có diện tích \({a^2}\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).

Thể tích lăng trụ là 62,5 \(d{m^3}\) nên chiều cao là \(h = \frac{{62,5}}{{{a^2}}}\) (dm).

Diện tích gỗ làm một chiếc thùng là:

\(S = 4.\frac{{62,5}}{{{a^2}}}.a + {a^2} = \frac{{250}}{a} + {a^2} = \frac{{125}}{a} + \frac{{125}}{a} + {a^2}\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \(\frac{{125}}{a}\), \(\frac{{125}}{a}\), \({a^2}\), ta có:

\(S = \frac{{125}}{a} + \frac{{125}}{a} + {a^2} \ge 3.\sqrt[3]{{\frac{{125}}{a}.\frac{{125}}{a}.{a^2}}} = 75\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{{125}}{a} = {a^2}\), suy ra a = 5.

Vậy S nhỏ nhất bằng 75 \(d{m^2}\) khi độ dài cạnh đáy là 5 dm.