Cho tam giác ABC nhọn (với AB < AC) nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC và OI vuông góc BC.
b) Kẻ đường kính AM của (O). Chứng minh: \(AB \cdot AC = AD \cdot AM\) và ba điểm H, I, M thẳng hàng.
c) Biết AH = R = 10cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC và EF.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
Chứng minh \(\Delta BFC\) và \(\Delta BEC\) nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Suy ra B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Do đó tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Chứng minh \(OI \bot BC\)
Chứng minh tam giác OBC cân tại O, OI là đường trung tuyến của tam giác OBC.
Do đó OI cũng là đường cao của tam giác OBC.
Suy ra \(OI \bot BC\).
b) Chứng minh \(AB \cdot AC = AD \cdot AM\)
Chứng minh $\Delta ADB\backsim \Delta ACM$ (g.g)
suy ra \(\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}}\), do đó \(AB \cdot AC = AD \cdot AM\)
Chứng minh ba điểm H, I, M thẳng hàng
Chứng minh BH // MC, BM // CH nên tứ giác BHCM là hình bình hành
Lại có \(I\) là trung điểm của BC
Nên I cũng là trung điểm của HM
Suy ra ba điểm H, I, M thẳng hàng.
c) Tính độ dài đoạn thẳng BC
Chứng minh OI là đường trung bình của \(\Delta AHM\) và tính OI theo AH.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OIC vuông tại \(I\) (do \(OI \bot BC\)) để tính BC.
Tính độ dài đoạn thẳng EF
Tính \(\widehat {IOC}\) theo tỉ số lượng giác.
Suy ra \(\widehat {BOC}\)
Tính \(\widehat {BAC}\) theo \(\widehat {BOC}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)
Chứng minh $\Delta AEF\backsim \Delta ABC$ (c.g.c)
Suy ra \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \cos \widehat {BAC}\)
Tính EF theo BC.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
Vì BE và CF là đường cao của tam giác ABC nên \(BE \bot AC\) và \(CF \bot AB\), suy ra \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta BFC\) và \(\Delta BEC\) lần lượt vuông tại F và E (\(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \)) nên \(\Delta BFC\) và \(\Delta BEC\) nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Suy ra B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Do đó tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Chứng minh \(OI \bot BC\)
Xét tam giác OBC có OB = OC nên tam giác OBC cân tại O.
Mà I là trung điểm của BC nên OI là đường trung tuyến của tam giác OBC.
Do đó OI cũng là đường cao của tam giác OBC.
Suy ra \(OI \bot BC\).
b) Chứng minh \(AB \cdot AC = AD \cdot AM\)
Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta ACM\) có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {ACM}\left( { = 90^\circ } \right)\) (AD là đường cao, \(\widehat {ACM}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\widehat {ABD} = \widehat {AMC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
nên $\Delta ADB\backsim \Delta ACM$ (g.g)
suy ra \(\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}}\), do đó \(AB \cdot AC = AD \cdot AM\)
Chứng minh ba điểm H, I, M thẳng hàng
Vì \(BE \bot AC,MC \bot AC\) (BE là đường cao, \(\widehat {ACM} = 90^\circ \)) nên BE // MC hay BH // MC.
Vì \(CF \bot AB,MB \bot AB\) (CF là đường cao, \(\widehat {ABM} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)) nên BM // CF hay BM // CH.
Xét tứ giác BHCM có:
BH // MC
BM // CH
Suy ra tứ giác BHCM là hình bình hành
Lại có \(I\) là trung điểm của BC
Nên I cũng là trung điểm của HM
Suy ra ba điểm H, I, M thẳng hàng.
c) Tính độ dài đoạn thẳng BC
Xét \(\Delta AHM\) có O là trung điểm của AM (AM là đường kính), I là trung điểm của HM (cmt) nên OI là đường trung bình của \(\Delta AHM\). Do đó \(OI = \frac{1}{2}AH = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\) (cm)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OIC vuông tại \(I\) (do \(OI \bot BC\)), ta có:
\(O{I^2} + I{C^2} = O{C^2}\) , suy ra \(IC = \sqrt {O{C^2} - O{I^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {5^2}} = \sqrt {75} = 5\sqrt 3 {\rm{ (cm)}}\)
suy ra \(BC = 2 \cdot IC = 10\sqrt 3 {\rm{ (cm)}}\)
Tính độ dài đoạn thẳng EF
Xét tam giác vuông OIC có: \(\cos \widehat {IOC} = \frac{{OI}}{{OC}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\) nên \(\widehat {IOC} = 60^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BOC} = 2 \cdot \widehat {IOC} = 120^\circ \) (OI là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác BOC)
Ta có: \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot \widehat {BOC} = \frac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) có:
\(\widehat {AEB} = \widehat {AFC}\left( { = 90^\circ } \right)\)
\(\widehat {BAC}\) chung
nên $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$ (g.g)
suy ra \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\)
Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\widehat {BAC}\) chung
\(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) (cmt)
nên $\Delta AEF\backsim \Delta ABC$ (c.g.c)
Suy ra \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \cos \widehat {BAC} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)
Do đó \(EF = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt 3 = 5\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)
Vậy \(BC = 10\sqrt 3 cm,EF = 5\sqrt 3 cm\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một hình vuông. Tỉ số $\dfrac{R}{r}$ là:
Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I;
b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.
Tứ giác ABCD có hai góc đối diện B và D vuông, hai góc kia không vuông.
a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C và D. Ta gọi đó là đường tròn (C).
b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD của tứ giác. Chứng minh rằng \(IK \bot BD\).
c) Kí hiệu các tiếp tuyến của đường tròn (C) tại A, B và C lần lượt là a, b và c. Giả sử b cắt a và c theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng tứ giác AEFC là một hình thang.
d) Chứng minh rằng \(EF = AE + CF\).
Cho tam giác ABC \(\left( {AB < AC} \right)\) ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi X và Y lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C xuống CI và BI. Chứng minh rằng:
a) DBXF, DCYE là các tứ giác nội tiếp.
b) Bốn điểm X, Y, E, F thẳng hàng.
a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. So sánh độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. Nêu nhận xét về tâm và đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có cạnh bằng a.
Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông và hình chữ nhật trong Hình 11.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp;
b) Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.
a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.
b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.
Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.
a) Hai góc ABD và ACD có bằng nhau hay không? Vì sao?
b) Chứng minh \(\Delta AIB\backsim \Delta IDC\) và IA.IC = IB.ID.
Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai tia CD và BA cắt nhau tại I. Chứng minh:
a)\(\widehat {IAD} = \widehat {BCD}.\)
b) IA.IB = ID.IC.
Giải thích vì sao giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật và hình vuông cách đều bốn đỉnh của chúng.
Cho đường tròn tâm O có bán kính R = 5 cm.
a) Tính độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp trong (O).
b) Một hình chữ nhật nội tiếp (O) có chu vi 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp.
a) Chứng minh rằng \(\widehat {BAC} = \widehat {BDC}\).
b) AC cắt BD tại M. Chứng minh rằng MA.MC = MB.MD.
Tính số đo các góc của tứ giác nội tiếp ABCD trong Hình 7.23.
Tam giác ABC có \(\widehat B = {76^o},\widehat C = {40^o}\). Đường tròn (O) nội tiếp \(\Delta \)ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, AC lần lượt tại các điểm M, N, P.
a) Chứng minh AMOP, BMON và CNOP là các tứ giác nội tiếp.
b) Tính số đo cung nhỏ MN, NP và MP.
c) Tính các góc của \(\Delta \)MNP.
Gọi r và R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của một tam giác đều. Tỉ số $\dfrac{r}{R}$ bằng:
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat {BAC} = {120^0}.\) Trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) không chứa đỉnh \(A\), lấy \(D\) sao cho \(BCD\) là tam giác đều. Khi đó
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat {BAC} = {130^0}.\) Trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) không chứa đỉnh \(A\), kẻ \(Bx \bot BA;Cy \bot CA\), \(Bx\) và \(Cy\) cắt nhau tại D. Chọn đáp án sai.
Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ . Gọi $H$ là điểm nằm giữa $O$ và $B$. Kẻ dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại $H$ . Trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $E$ kẻ $CK$ vuông góc $AE$ tại $K$ . Đường thẳng $DE$ cắt $CK$ tại $F$. Chọn câu đúng:
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm) . Chọn đáp án đúng:
a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, B cùng thuộc một đường tròn.
b) Hai đường thẳng MB và OH cắt nhau tại E. Chứng minh \(\angle MHO = \angle MNA\) và \(ME \cdot MH = BE \cdot HC\).
c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC. Chứng minh ba điểm C, P, E là ba điểm thẳng hàng.
a) Chứng minh \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\), từ đó suy ra tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Gọi D là giao điểm của AH và (O) (D nằm giữa A và H), chứng minh \(B{D^2} = BK \cdot BC\) và \(\angle BDH = \angle BFD\)
c) Trong trường hợp góc \(BAC = {60^0}\) và \(BC = 6\;{\rm{cm}}\), tính độ dài đoạn thẳng EF và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.
a) Chứng minh bốn điểm D,M,N,O cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh \(OM = ON\) và \(\angle BDM = \angle ODN\).
c) Qua \(O\), kẻ đường thắng vuông góc với BC cắt MN tại I,AI cắt BC tại \(K\). Chứng minh \(K\) là trung điểm của BC.
Hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, người ta nối trung điểm các cạnh liên tiếp của nó để tạo thành tứ giác EFGH, tiếp tục như vậy được tứ giác mới IKPQ (Hình 15). Chứng minh:
a) Tứ giác EFGH và tứ giác IKPQ là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH bằng tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác IKPQ.
Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AI, BK, CL. Chứng minh:
a) Các tứ giác AKIB, BLKC là các tứ giác nội tiếp.
b) Trực tâm H của tam giác ABC là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IKL.
a) Chứng minh bốn \(C,\,E,\,\,M,\,O\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ \(AD \bot BC\) tại \(D\). Chứng minh \(AD.AK = AB.AC\) và \(\Delta MDE\) cân.
c) Gọi \(F\) là hình chiếu của \(B\) trên \(AK\). Chứng minh khi di chuyển trên cung lớn \(BC\) thì tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta DEF\) là 1 điểm cố định.
a) Chứng minh bốn điểm K, E, B, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \(AK.AE = AI.AB\).
c) Gọi \(P\) là giao điểm của tia BE và tia DC, \(Q\) là giao điểm của AP và BK. Chứng minh IK là phân giác của \(\widehat {EIQ}\). Chứng minh OQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PQE.
a) Chứng minh tứ giác BFCE nội tiếp và \(AO \bot EF\)
b) Chứng minh: \({\sin ^2}\widehat {BAC}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} c{\rm{o}}{s^2}\widehat {BAC} = 1\) và \(B{C^2}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} A{B^2}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} A{C^2}{\mkern 1mu} - 2.AB.AC.cos\widehat {BAC}\)
c) Gọi S là diện tích tam giác ABC, chứng minh \(S = {\mkern 1mu} \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC}\). Cho \(AB = 6;{\mkern 1mu} AC = 8;BC = 2\sqrt {13} \). Tính diện tích tam giác ABC.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai tia AB và DC cắt nhau tại điểm K, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm H. Kí hiệu $\overset\frown{AD}$ là cung AD không chứa điểm B và $\overset\frown{BC}$ là cung BC không chứa A. Chứng minh rằng:
a) \(\widehat {BKC} = \frac{1}{2}\)(sđ$\overset\frown{AD}$ - sđ$\overset\frown{BC}$);
b) \(\widehat {BHC} = \frac{1}{2}\)(sđ$\overset\frown{AD}$ + sđ$\overset\frown{BC}$).
a) Nếu một hình bình hành nội tiếp một đường tròn thì hình đó phải là là hình chữ nhật;
b) Nếu một hình thoi nội tiếp một đường tròn thì hình đó phải là hình vuông;
c) Nếu một hình thang nội tiếp một đường tròn thì hình đó phải là hình thang cân.
