Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.
a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.
b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.
- Đọc kĩ dữ liệu để vẽ hình.
- Chứng minh \(\Delta \)ABM = \(\Delta \)ADN (g.c.g)
- Dựa vào trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180o để suy ra tứ giác ABMO và ANDO nội tiếp.
- Chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMCN. Suy ra
OA = OC. Sau đó chứng minh B, D, O cùng thuộc trung trực của đoạn thẳng AC. Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.
a) Xét \(\Delta \)ABM và \(\Delta \)ADN ta có:
AB = AD
\(\widehat {ABM} = \widehat {ADN}( = {90^o})\)
\(\widehat {BAM} = \widehat {NAD}\)(cùng phụ với \(\widehat {DAM}\))
Do đó \(\Delta \)ABM = \(\Delta \)ADN (g.c.g)
b) Ta có AM = AN (do \(\Delta \)ABM = \(\Delta \)ADN)
Suy ra \(\Delta \) AMN cân tại A
Mà AO cũng là đường trung tuyến (O là trung điểm của NM)
Nên AO cũng là đường cao suy ra AO \( \bot \) NM tại O.
Xét tứ giác ABMO có \(\widehat {ABM} + \widehat {AOM} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) nên tứ giác ABMO nội tiếp.
Xét tứ giác ADNO có \(\widehat {ADN} = {90^o}\left( {AD \bot CN} \right),\widehat {AON} = {90^o}(AO \bot MN)\)
Suy ra D, O thuộc đường tròn đường kính AN.
Vậy tứ giác ADNO nội tiếp.
c) Tứ giác AMCN có: \(\widehat {MAN} + \widehat {MCN} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) nên nội tiếp.
Mà \(\widehat {MAN} = {90^o}\)
Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMCN.
Suy ra OA = OC
Mà DA = DC, BA = BC (tứ giác ABCD là hình vuông).
Do đó B, D, O cùng thuộc trung trực của đoạn thẳng AC.
Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I;
b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.
Tứ giác ABCD có hai góc đối diện B và D vuông, hai góc kia không vuông.
a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C và D. Ta gọi đó là đường tròn (C).
b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD của tứ giác. Chứng minh rằng \(IK \bot BD\).
c) Kí hiệu các tiếp tuyến của đường tròn (C) tại A, B và C lần lượt là a, b và c. Giả sử b cắt a và c theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng tứ giác AEFC là một hình thang.
d) Chứng minh rằng \(EF = AE + CF\).
Cho tam giác ABC \(\left( {AB < AC} \right)\) ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi X và Y lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C xuống CI và BI. Chứng minh rằng:
a) DBXF, DCYE là các tứ giác nội tiếp.
b) Bốn điểm X, Y, E, F thẳng hàng.
a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. So sánh độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. Nêu nhận xét về tâm và đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có cạnh bằng a.
Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông và hình chữ nhật trong Hình 11.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp;
b) Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.
Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.
a) Hai góc ABD và ACD có bằng nhau hay không? Vì sao?
b) Chứng minh \(\Delta AIB\backsim \Delta IDC\) và IA.IC = IB.ID.
Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai tia CD và BA cắt nhau tại I. Chứng minh:
a)\(\widehat {IAD} = \widehat {BCD}.\)
b) IA.IB = ID.IC.
Giải thích vì sao giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật và hình vuông cách đều bốn đỉnh của chúng.
Cho đường tròn tâm O có bán kính R = 5 cm.
a) Tính độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp trong (O).
b) Một hình chữ nhật nội tiếp (O) có chu vi 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp.
a) Chứng minh rằng \(\widehat {BAC} = \widehat {BDC}\).
b) AC cắt BD tại M. Chứng minh rằng MA.MC = MB.MD.
Tính số đo các góc của tứ giác nội tiếp ABCD trong Hình 7.23.
Tam giác ABC có \(\widehat B = {76^o},\widehat C = {40^o}\). Đường tròn (O) nội tiếp \(\Delta \)ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, AC lần lượt tại các điểm M, N, P.
a) Chứng minh AMOP, BMON và CNOP là các tứ giác nội tiếp.
b) Tính số đo cung nhỏ MN, NP và MP.
c) Tính các góc của \(\Delta \)MNP.
