Cho \(\Delta ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\). AE là phân giác của góc \(\widehat {BAC}\) \(\left( {E \in BC} \right)\). Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = AB.

a) Chứng minh \(\Delta ABE = \Delta AME\).

b) AE cắt BM tại điểm I. Chứng minh I là trung điểm của BM.

c) Trên tia đối của tia EM lấy điểm N sao cho EN = EC. Chứng minh \(\Delta ENB = \Delta ECM\).

d) Chứng minh 3 điểm A,B,N thẳng hàng.

 

a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta AME\) có:

\(AB = AM\left( {gt} \right)\)

\(\widehat {BAE} = \widehat {MAE}\) (AE là tia phân giác góc \(\widehat {BAC}\))

Chung AE

\( \Rightarrow \Delta ABE = \Delta AME\left( {c - g - c} \right)\) (đpcm).

b) Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta AMI\) có:

AB = AM (gt)

\(\widehat {BAE} = \widehat {MAE}\) (AE là tia phân giác góc \(\widehat {BAC}\))

 AI chung

\( \Rightarrow \Delta ABI = \Delta AMI\left( {c - g - c} \right)\).

\( \Rightarrow BI = MI\) (cạnh tương ứng)

Do đó \(I\) là trung điểm của BM (đpcm)

c) Từ câu a, \(\Delta ABE = \Delta AME\)\( \Rightarrow BE = ME\) (cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ENB\) và \(\Delta ECM\) có:

\(EN = EC\left( {gt} \right)\)

\(\widehat {BEN} = \widehat {MEC}\) (đối đỉnh)

\(EB = EM\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ENB = \Delta ECM\left( {c - g - c} \right)\) (đpcm).

d) Từ câu a, \(\Delta ABE = \Delta AME\)\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {AME}\) (góc tương ứng)  (1)

Từ câu c, \(\Delta ENB = \Delta ECM\) \( \Rightarrow \widehat {NBE} = \widehat {CME}\) (góc tương ứng)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {ABE} + \widehat {NBE} = \widehat {AME} + \widehat {CME}\)

Mà \(\widehat {AME} + \widehat {CME} = {180^0}\) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {ABE} + \widehat {NBE} = {180^0}\).

Vậy ba điểm A,B,N thẳng hàng (đpcm).