Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình chữ nhật có thể tích 500 \(c{m^3}\), chiều cao của hộp là 2 cm. Tìm kích thước đáy của hộp sao cho sử dụng ít vật liệu nhất.

Gọi chiều rộng của đáy hộp là x (x > 0, cm). Khi đó, chiều dài đáy hộp là \(\frac{{500}}{{2x}}\) (cm).

Diện tích toàn phần của hộp là:

\(S = 2.\left( {x.\frac{{500}}{{2x}} + 2x + 2.\frac{{500}}{{2x}}} \right) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\) \(\left( {c{m^2}} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương \(4x\) và \(\frac{{1000}}{x}\):

\(4x + \frac{{1000}}{x} \ge 2\sqrt {4x.\frac{{1000}}{x}} \)

\(4x + \frac{{1000}}{x} \ge 40\sqrt {10} \)

\(S \ge 40\sqrt {10}  + 500\).

Dấu “=” xảy ra khi \(4x = \frac{{1000}}{x}\), suy ra \(x = 5\sqrt {10} \).

Vậy để sử dụng ít vật liệu nhất thì chiều rộng và chiều dài đáy hộp là \(5\sqrt {10} \) cm.