Biết phương trình bậc hai \({x^2} + 5x + a = 0\) có một nghiệm là \(x = \frac{{ - 5 + \sqrt {13} }}{2}\). Tìm tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình trên.
Thay nghiệm vào phương trình, tính a.
Tổng lập phương các nghiệm là \({x_1}^3 + {x_2}^3\).
Biến đổi biểu thức và áp dụng định lí Viète: \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\); \(P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).
Vì \(x = \frac{{ - 5 + \sqrt {13} }}{2}\) là một nghiệm của phương trình \({x^2} + 5x + a = 0\) nên thay nghiệm đó vào phương trình, ta được \({\left( {\frac{{ - 5 + \sqrt {13} }}{2}} \right)^2} + 5.\frac{{ - 5 + \sqrt {13} }}{2} + a = 0\), suy ra a = 3.
Vậy phương trình là \({x^2} + 5x + 3 = 0\).
Gọi \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.
Áp dụng hệ thức Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{5}{1} = - 5\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3\end{array} \right.\)
Ta có \({x_1}^3 + {x_2}^3\)
\( = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\)
\( = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\)
\( = - 5\left[ {{{\left( { - 5} \right)}^2} - 3.3} \right] = - 80\).
Vậy tổng lập phương các nghiệm là -80.
