Một miếng tôn phẳng hình vuông với kích thước a (cm), người ta muốn cắt đi ở bốn góc bốn hình vuông cạnh bằng x (cm) để uốn thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Phải cắt như thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhất?

Vì cạnh hình vuông bị cắt là x (cm) nên ta có điều kiện: 0 < x < a (cm).

Chiều dài cạnh miếng tôn sau khi cắt là a – 2x (cm), chiều cao hộp là x (cm).

Thể tích hình hộp là \(V = x(a - 2x)(a - 2x) = \frac{1}{4}4x(a - 2x)(a - 2x)\) \((c{m^3})\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có:

\(4x(a - 2x)(a - 2x) \le {\left( {\frac{{4x + a - 2x + a - 2x}}{3}} \right)^3}\)

\(\frac{1}{4}4x(a - 2x)(a - 2x) \le \frac{1}{4}{\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)^3}\)

\(S \le \frac{{2{a^3}}}{{27}}\).

Dấu “=” xảy ra khi 4x = a – 2x, suy ra \(x = \frac{a}{6}\) (cm).

Vậy để thể tích hộp lớn nhất, cần cắt 4 góc hình vuông cạnh \(\frac{a}{6}\) (cm).