Cho phương trình \(4{x^2} - 5x - 3 = 0\) có hai nghiệm là \({x_1}\), \({x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(F = \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\).
Kiểm tra sự tồn tại của \({x_1},{x_2}\) dựa vào \(\Delta \).
Biến đổi biểu thức và áp dụng định lí Viète: \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\); \(P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).
Phương trình \(4{x^2} - 5x - 3 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.4.( - 3) = 73 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\).
Áp dụng hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 5}}{4} = \frac{5}{4}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 3}}{4}\end{array} \right.\)
\(F = \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\)
\( = {x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 - \left( {{x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\)
\( = {x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 - {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} - {x_2}^2\)
\( = 3{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 - \left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right)\)
\( = 3{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 - \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\)
\( = 5{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\)
\( = 5\left( {\frac{{ - 3}}{4}} \right) + \frac{5}{4} + 1 - {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} = - \frac{{49}}{{16}}\).
Vậy \(F = \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = - \frac{{49}}{{16}}\).
