Tìm các số nguyên dương \(n\) sao cho \(\dfrac{{{n^2}}}{{60 - n}}\) là một số nguyên tố.

Với mọi \(n \in {\mathbb{Z}^ + }\) ta có: \(\dfrac{{{n^2}}}{{60 - n}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow {n^2}\,\, \vdots \,\,60 - n.\)

Mà \(60 - n\,\, \vdots \,\,60 - n \) nên \(n\left( {60 - n} \right)\,\, \vdots \,\,60 - n\)

Suy ra \(60n - {n^2}\,\, \vdots \,\,\,60 - n\)

Lại có: \({n^2}\,\, \vdots \,\,60 - n\)

\(\begin{array}{l} 60n - {n^2} + {n^2}\,\, \vdots \,\,60 - n\\  60n\,\, \vdots \,\,60 - n\end{array}\)

Có \(60 - n\,\, \vdots \,\,60 - n\)

\(\begin{array}{l} 60\left( {60 - n} \right)\,\, \vdots \,\,\,60 - n\\ 3600 - 60n\,\, \vdots \,\,\,60 - n\\ 60n + 3600 - 60n\,\,\, \vdots \,\,\,60 - n\\ 3600\,\, \vdots \,\,60 - n\\ 60 - n \in U\left( {3600} \right).\end{array}\) 

Mà \(U\left( {3600} \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4;.....} \right\}\) 

Ta có: \(n \in {\mathbb{Z}^ + } \) nên \(60 - n \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow 0 < 60 - n \le 60\)

Lại có: \(\dfrac{{{n^2}}}{{60 - n}}\) là số nguyên tố

+) Xét \(\dfrac{{{n^2}}}{{60 - n}} = 2\)

\( {n^2} = 120 - 2n\)

\(\begin{array}{l} {n^2} + 2n - 120 = 0\\ {n^2} + 12n - 10n - 120 = 0\\ n\left( {n + 12} \right) - 10\left( {n + 12} \right) = 0\\ \left( {n - 10} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\end{array}\)

suy ra \(n - 10 = 0\) hoặc \(n + 12 = 0\)

\(n = 10\,\,\,\left( {tm} \right)\) hoặc \(n =  - 12\,\,\,\left( {ktm} \right)\)

Với \(n = 10\) ta có \(\dfrac{{{n^2}}}{{60 - n}}\) là số nguyên tố.

+) Xét \(\dfrac{{{n^2}}}{{60 - n}} \ne 2 \)

\(\dfrac{{{n^2}}}{{60 - n}}\) là các số nguyên tố lẻ và \( > 2.\)

suy ra \( {n^2},\,\,\,60 - n\) cùng là hai số lẻ hoặc \({n^2}\) chẵn và \(60 - n\) là số lẻ

nên\(60 - n\) là số lẻ.

+) Xét \(\dfrac{{{n^2}}}{{60 - n}} > 2 \)

\({n^2} + 2n - 120 > 0\\ \left( {n - 10} \right)\left( {n + 12} \right) > 0\\  > 10\\ 60 - n < 50.\\ 60 - n \in \left\{ {1;\,\,3;\,\,\,9;\,\,15;\,\,25;\,\,45} \right\}\)

Ta có bảng giá trị:

suy ra \(n = 15\) thì \(\dfrac{{{n^2}}}{{60 - n}}\) là số nguyên tố.

Vậy với \(n \in \left\{ {10;\,\,15} \right\}\) thì \(\dfrac{{{n^2}}}{{60 - n}}\) là số nguyên tố.