Một cửa hàng xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ bằng thép có thể tích \(54\pi \) \(\left( {{m^3}} \right)\) và giá mỗi mét vuông thép là 500 nghìn đồng. Hỏi số tiền thấp nhất mà cửa hàng phải trả là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Gọi bán kính đáy bồn chứa là r (mét, r > 0), chiều cao bồn chứa là h (mét, h > 0).

Thể tích bồn chứa là \(V = \pi {r^2}h = 54\pi \), suy ra \(h = \frac{{54\pi }}{{\pi {r^2}}} = \frac{{54}}{{{r^2}}}\) (m).

Diện tích toàn phần của bồn chứa là:

\(S = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {r^2} + 2\pi r.\frac{{54}}{{{r^2}}} = 2\pi {r^2} + \frac{{108\pi }}{r} = 2\pi {r^2} + \frac{{54\pi }}{r} + \frac{{54\pi }}{r}\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Để chi phí xây dựng thấp nhất thì diện tích toàn phần của bồn phải nhỏ nhất.

Ta có:

\(S = 2\pi {r^2} + \frac{{54\pi }}{r} + \frac{{54\pi }}{r} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {r^2}.\frac{{54\pi }}{r}.\frac{{54\pi }}{r}}}\) (bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương)

\(S \ge 3\sqrt[3]{{2.54.54.{\pi ^3}}}\)

\(S \ge 54\pi \).

Dấu “=” xảy ra khi \(2\pi {r^2} = \frac{{54\pi }}{r}\)

\(2{r^3} = 54\)

\(r = 3\).

Khi đó số tiền thấp nhất mà cửa hàng phải trả là \(54\pi .500000 \approx 84823002\) (đồng).