Từ điểm A nằm ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính CD của (O).

a) Chứng minh BD // AO.

b) AD cắt (O) tại E (A, E, D theo thứ tự). Chứng minh rằng \(A{B^2} = AE.AD\).

c) Vẽ \(BH \bot DC\) tại H. Gọi I là trung điểm của BH. Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng.

a) Gọi M là giao điểm của OA và BC.

Vì B thuộc (O) có đường kính CD nên \(\widehat {CBD} = {90^o}\), hay \(BD \bot BC\) (1)

Vì AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) nên OA là tia phân giác của \(\widehat {BOC}\).

Mà \(\Delta BOC\) cân tại O (do OB = OC), suy ra OM vừa là đường phân giác, vừa là đường cao của \(\Delta BOC\).

Do đó \(OA \bot BC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA // BD (cùng vuông góc với BC).

b) Vì E thuộc (O) có đường kính CD nên \(\widehat {CED} = {90^o}\), hay \(CE \bot AD\).

Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta ACD\):

+ \(\widehat {AEC} = \widehat {ACD} = {90^o}\);

+ \(\widehat A\) chung.

Suy ra $\Delta AEC\backsim \Delta ACD$ (g.g), do đó \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AD}}\), suy ra \(A{C^2} = AE.AD\).

Mà AB = AC nên \(A{B^2} = AE.AD\).

c) Vì BD // AO (chứng minh trên) nên \(\widehat {HDB} = \widehat {COA}\) (góc đồng vị).

Xét \(\Delta HDB\) và \(\Delta COA\):

+ \(\widehat {DHB} = \widehat {OCA} = {90^o}\);

+ \(\widehat {HDB} = \widehat {COA}\) (chứng minh trên).

Suy ra $\Delta HDB\backsim \Delta COA$ (g.g), do đó \(\frac{{HD}}{{OC}} = \frac{{BH}}{{AC}}\), vì vậy \(\frac{{HD}}{{2OC}} = \frac{{BH}}{{2AC}}\).

Mà CD = 2OC, BH = 2HI (vì O, I lần lượt là trung điểm của CD, BH).

Suy ra \(\frac{{HD}}{{CD}} = \frac{{2HI}}{{2AC}}\), do đó \(\frac{{HD}}{{CD}} = \frac{{HI}}{{AC}}\).

Xét \(\Delta HDI\) và \(\Delta CDA\):

+ \(\widehat {DHI} = \widehat {DCA} = {90^o}\);

+ \(\frac{{HD}}{{CD}} = \frac{{HI}}{{AC}}\) (chứng minh trên).

Suy ra $\Delta HDI\backsim \Delta CDA$ (c.g.c), khi đó \(\widehat {HDI} = \widehat {CDA}\), tức hai tia DI, DA trùng nhau.

Vậy ba điểm A, I, D thẳng hàng.