Cho phương trình \({x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(Q = {x_1}^3 + {x_2}^3\).
Kiểm tra sự tồn tại của \({x_1},{x_2}\) dựa vào \(\Delta \).
Biến đổi biểu thức A và áp dụng định lí Viète: \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\); \(P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).
Phương trình \({x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0\) có \(\Delta ' = {\left( { - 2\sqrt 3 } \right)^2} - 1.8 = 4 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\).
Áp dụng hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 4\sqrt 3 }}{1} = 4\sqrt 3 \\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{8}{1} = 8\end{array} \right.\)
\(Q = {x_1}^3 + {x_2}^3\)
\( = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\)
\( = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\)
\( = \left( {4\sqrt 3 } \right)\left[ {{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} - 3.8} \right] = 96\sqrt 3 \).
Vậy \(Q = {x_1}^3 + {x_2}^3 = 96\sqrt 3 \).
