Biết rằng phương trình bậc hai \(2{x^2} - 4x + m = 0\) có một nghiệm \(x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\). Tính tổng nghịch đảo hai nghiệm của phương trình trên.
Thay nghiệm vào phương trình để tìm m.
Áp dụng định lí Viète để tính \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\) với \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.
Phương trình \(2{x^2} - 4x + m = 0\) có một nghiệm \(x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\) nên ta thay nghiệm đó vào phương trình:
\(2.{\left( {\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}} \right)^2} - 4.\left( {\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}} \right) + m = 0\)
\(7 + 2\sqrt {10} - 2\left( {2 + \sqrt {10} } \right) + m = 0\)
\(m = - 3\).
Vậy phương trình bậc hai đề bài cho là \(2{x^2} - 4x - 3 = 0\).
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 4}}{2} = 2\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\)
Tổng nghịch đảo hai nghiệm là:
\(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{2}{{\frac{{ - 3}}{2}}} = - \frac{4}{3}\).
