Cho \(\Delta ABC\) (AB < AC) nội tiếp (O; R) đường kính BC, trên cung nhỏ AC lấy điểm D, BD cắt AC tại E, từ E vẽ \(EF \bot BC\) tại F.

a) Chứng minh tứ giác BAEF nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh DB là phân giác góc ADF.

c) Gọi M là trung điểm EC. Chứng minh DM.CA = CF.CO.

a) Vì \(\widehat {BAE} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) nên A thuộc đường tròn đường kính BE.

Mặt khác, \(\widehat {BFE} = {90^o}\) (do \(BC \bot EF\) tại F) nên F thuộc đường tròn đường kính BE.

Do đó, các điểm A, F, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE, hay tứ giác ABFE nội tiếp.

b) Vì \(\widehat {CDE} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) nên E thuộc đường tròn đường kính CE.

Mặt khác, \(\widehat {CFE} = {90^o}\) (do \(BC \bot EF\) tại F) nên F thuộc đường tròn đường kính CE.

Do đó, các điểm D, F, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính CE, hay tứ giác DCFE nội tiếp.

Vì tứ giác DCFE nội tiếp nên ta có \(\widehat {EDF} = \widehat {ECF}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung EF).

Mà tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ACB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Do đó, \(\widehat {ADB} = \widehat {EDF}\) hay DB là phân giác của \(\widehat {ADF}\).

c) Xét \(\Delta DEC\) vuông tại D, có M là trung điểm của cạnh huyền EC nên \(DM = \frac{1}{2}EC\) hay \(EC = 2DM\).

Xét \(\Delta CFE\) và \(\Delta CAB\) có:

\(\widehat {ECF}\) là góc chung;

\(\widehat {CFE} = \widehat {CAB} = {90^o}\).

Nên $\Delta CFE\backsim \Delta CAB$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{CF}}{{AC}} = \frac{{EC}}{{BC}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ), suy ra \(CF.BC = AC.EC\).

Do đó \(CF.2CO = AC.2DM\) hay \(CF.CO = AC.DM\).