3) Cho phương trình \(4{x^2} - 2x - 1 = 0\) có 2 nghiệm là \({x_1},{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} - {x_1}\left( {{x_1} - \frac{1}{2}} \right)\).
Kiểm tra sự tồn tại của \({x_1},{x_2}\) dựa vào \(\Delta \).
Biến đổi biểu thức A và áp dụng định lí Viète: \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\); \(P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).
Xét phương trình \(4{x^2} - 2x - 1 = 0\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac = {( - 2)^2} - 4.4.( - 1) = 20 > 0\).
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có:
\(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 2}}{4} = \frac{1}{2}\);
\(P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{4}\).
Ta có: \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} - {x_1}\left( {{x_1} - \frac{1}{2}} \right)\)
\( = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - {x_1}\left[ {{x_1} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]\)
\( = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - {x_1}\left( { - {x_2}} \right)\)
\( = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 + {x_1}{x_2}\)
\( = {x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2\)
\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\)
\( = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 3\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right)\)
\( = 1\).
Vậy A = 1.
