Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{12}}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0\), \(x \ne 4\).
1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 25.
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\).
3) Với P = A.B, tìm giá trị của x để |P| > P.
1) Kiểm tra điều kiện của x. Nếu thỏa mãn, thay x = 25 vào A.
2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.
3) Rút gọn P rồi giải bất đẳng thức |P| > P, kết hợp điều kiện để tìm x.
1) Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện), ta có:
\(A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt {25} - 2}}{{\sqrt {25} + 2}} = \frac{3}{7}\).
Vậy \(A = \frac{3}{7}\) khi x = 25.
2) Với \(x \ge 0\), \(x \ne 4\), ta có:
\(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{12}}{{x - 4}}\)
\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{x + 4\sqrt x + 4 - 3\sqrt x + 6 - 12}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{x - \sqrt x + 2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) + 2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\).
3) Ta có: \(P = A.B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\).
Xét |P| > P:
TH1: \(P > P\) (vô lí).
TH2: \( - P > P\)
\(\frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} > \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\)
\(1 - \sqrt x > \sqrt x - 1\) (vì \(\sqrt x + 2 > 0\))
\(2 > 2\sqrt x \)
\(1 > \sqrt x \)
\(1 > x\).
Kết hợp điều kiện xác định, ta có: \(1 > x \ge 0\).
