Anh An gửi 100 triệu vào ngân hàng với kì hạn 1 năm và hưởng lãi suất 5,4%/năm theo thể thức lãi kép. Sau khi gửi được tròn 9 tháng, anh cần dùng đến 100 triệu trên để sửa nhà. Nhân viên ngân hàng đã đưa ra cho anh hai phương án như sau:
*Phương án 1: Anh rút hết tiền trước kì hạn. Khi đó toàn bộ số tiền anh gửi sẽ được tính lãi với lãi suất không kì hạn là \(0,2\% \)/năm (tính theo thể thức lãi kép với kì hạn 1 tháng).
*Phương án 2: Anh thế chấp sổ tiết kiệm đó để vay ngân hàng 100 triệu. Khi đó, toàn bộ số tiền vay sẽ phải chịu lãi suất \(8\% \)/năm (tính theo thể thức lãi kép với kì hạn 1 tháng). Đủ kì hạn 1 năm của khoản tiền gửi, anh sẽ rút hết tiền và trả hết nợ cho ngân hàng.
Nếu làm theo phương án 2 thì anh được lợi bao nhiêu triệu đồng so với phương án 1 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Đáp án:
Áp dụng công thức lãi kép \(T = A{\left( {1 + r} \right)^n}\).
Xét phương án 1: Với số tiền gửi là 100 triệu, lãi suất theo tháng là \(\frac{{5,4}}{{12}} = \frac{1}{{60}}\% \), gửi trong 6 tháng thì toàn bộ số tiền anh An nhận được sau 9 tháng là:
\(T = A{\left( {1 + r} \right)^n} = 100{\left( {1 + \frac{1}{{60}}\% } \right)^9} = 100,1501\) triệu tức là lợi được 0,1501 triệu.
Xét phương án 2: Số tiền anh An nhận được khi gửi với lãi suất 5,4% trong 1 năm là
\(T = 100.5,4\% {\rm{ \;}} = 105,4\) triệu.
Anh An cần vay ngân hàng trong 3 tháng với lãi suất 8%/năm tức là \(\frac{8}{{12}}\% \)/tháng.
\( \Rightarrow T = 100{\left( {1 + \frac{8}{{12}}\% } \right)^3}\).
Vậy số tiền anh An dư sau khi trả ngân hàng là \(105,4 - 100{\left( {1 + \frac{8}{{12}}\% } \right)^3} = 3,386\) triệu.
Khi đó so với phương án 1 thì anh An lợi được \(3,386 - 0,1501 \approx 3,24\) triệu.
Các bài tập cùng chuyên đề
Giải bài toán tình huống mở đầu.
Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm.
Tính:
a) \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - 2}};\)
b) \({4^{\frac{3}{2}}};\)
c) \({\left( {\frac{1}{8}} \right)^{ - \frac{2}{3}}};\)
d) \({\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}}.\)
Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(A = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt y + {y^{\frac{1}{3}}}\sqrt x }}{{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}};\)
b) \(B = {\left( {\frac{{{x^{\sqrt 3 }}}}{{{y^{\sqrt 3 - 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}}.\frac{{{x^{ - \sqrt 3 - 1}}}}{{{y^{ - 2}}}}.\)
Chứng minh rằng \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = 2.\)
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:
a) \({5^{6\sqrt 3 }}\) và \({5^{3\sqrt 6 }};\)
b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{4}{3}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{2}{3}}}.\)
Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm r (r được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thì tổng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:
\(A = P{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^N}.\)
Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?
Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức \(A = {19.2^{\frac{t}{{30}}}}.\) Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).
Giải bài toán tình huống mở đầu (kết quả tính theo đơn vị triệu người và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Sự tăng trưởng dân số ước tính theo công thức tăng trưởng mũ sau:
\(A = P{e^{rt}}\),
trong đó P là dân số của năm lấy làm mốc, A là dân số sau t năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Biết rằng vào năm 2020, dân số Việt Nam khoảng 97,34 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 0,91% (theo danso.org). Nếu tỉ lệ tăng dân số này giữ nguyên, hãy ước tính dân số Việt Nam vào năm 2050.
Giả sử một chất phóng xạ bị phân rã theo cách sao cho khối lượng m(t) của chất còn lại (tính bằng kilôgam) sau t ngày được cho bởi hàm số \(m\left( t \right) = 13.{e^{ - 0,015t}}.\)
a) Tìm khối lượng của chất đó tại thời điểm t = 0.
b) Sau 45 ngày khối lượng chất đó còn lại là bao nhiêu?
Tại một vùng biển, giả sử cường độ ánh sáng \(I\) thay đổi theo độ sâu theo công thức \(I = {I_0}{.10^{ - 0,3{\rm{d}}}}\), trong đó \(d\) là độ sâu (tính bằng mét) so với mặt hồ, \({I_0}\) là cường độ ánh sáng tại mặt hồ.
a) Tại độ sâu 1 m, cường độ ánh sáng gấp bao nhiều lần \({I_0}\)?
b) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 2 m gấp bao nhiêu lần so với tại độ sâu 10 m? Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân.
Rút gọn các biểu thức sau \(\left( {a > 0,b > 0} \right)\):
a) \({a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}}}\);
b) \({a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}}:{a^{\frac{1}{6}}}\);
c) \(\left( {\frac{3}{2}{a^{ - \frac{3}{2}}}{b^{ - \frac{1}{2}}}} \right)\left( { - \frac{1}{3}{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{3}{2}}}} \right)\).
Với một chỉ vàng, giả sử người thợ lành nghề có thể dát mỏng thành lá vàng rộng \(1\,{m^2}\) và dày khoảng \(1,{94.10^{ - 7}}\,m\). Đồng xu 5.000 đồng dày \(2,{2.10^{ - 3}}\,m\). Cần chồng bao nhiêu lá vàng như trên để có độ dày bằng đồng xu loại 5000 đồng? Làm tròn kết quả đến chữ số hàng trăm.
Tại một xí nghiệp, công thức \(P\left( t \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{3}}}\) được dùng để tính giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc máy sau thời gian \(t\) (tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng.
a) Tính giá trị còn lại của máy sau 2 năm; sau 2 năm 3 tháng.
b) Sau 1 năm đưa vào sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng bao nhiêu phần trăm so với ban đầu?
Biết rằng \({10^\alpha } = 2;{10^\beta } = 5\).
Tính \({10^{\alpha + \beta }};{10^{\alpha - \beta }};{10^{2\alpha }};{10^{ - 2\alpha }};{1000^\beta };0,{01^{2\alpha }}\).
Biết rằng \({4^\alpha } = \frac{1}{5}\). Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \({16^\alpha } + {16^{ - \alpha }}\);
b) \({\left( {{2^\alpha } + {2^{ - \alpha }}} \right)^2}\).
Rút gọn biểu thức \({\left[ {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{4}}}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^5}\), ta được
A. \(\sqrt 3 \).
B. \(3\sqrt 3 \).
C. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
D. 9.
Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P (tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi hàm số \(P = {d^{\frac{3}{2}}}\), trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU (1 AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là 1 AU khoảng 93 000 000 dặm). Hỏi Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn đến kết quả hàng phần trăm)? Biết khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là 1,52 AU.
Dân số được ước tính theo công thức \(S = A.{e^{r.t}}\), trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau t năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Hỏi sau bao nhiêu năm, dân số sẽ gấp đôi dân số của năm lấy làm mốc tính?
Trong bài toán ở phần mở đầu, giả sử r = 1,14%/năm.
a) Viết phương trình thể hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu.
b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của lũy thừa?
Cho \(a\) và \(b\) là hai số dương, \(a \ne b\). Rút gọn biểu thức sau:
\(A = \left[ {\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right).\)
Giả sử một lọ nuôi cấy có 100 con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 2 giờ.Khi đó số vi khuẩn \(N\) sau t (giờ) sẽ là \(N = 100 \cdot {2^{\frac{t}{2}}}\)(con). Hỏi sau \(3\frac{1}{2}\) giờ sẽ có bao nhiêu con vi khuẩn?
Chu kì dao động (tính bằng giây) của một con lắc có chiều dài \(L\)(tính bằng mét) được cho bởi \(T = 2\pi \sqrt {\frac{L}{{9,8}}} \). Nếu một con lắc có chiều dài \(19,6{\rm{m}}\), hãy tính chu kì \(T\)của con lắc này (làm tròn kết quả đến chư số thập phân thứ nhất).
Định luật thứ ba của Kepler nói rằng bình phương của chu kì quỹ đạo \(p\)(tính bằng năm Trái Đất) của một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời (theo quỹ đạo là một đường elip với 'Mặt Trời nằm ở một tiêu điểm) bẳng lập phương của bán trục lớn d (tính bằng đơn vị thiên văn \({\rm{AU}}\)).
a) Tính \(p\)theo\(d\).
b) Nếu Sao Thổ có chu kì quỹ đạo là 29,46 năm Trải Đất, hãy tinh bán trục lớn quỹ đạo của Sao Thổ đến Mặt Trời (kết quả tính theo đơn vị thiên văn và làm tròn đến hàng phần trăm).
Khoảng cách từ một hành tinh đến Mặt Trời có thể xấp xỉ bằng một hàm số của độ dài năm của hành tinh đó. Công thức của hàm số đó là \(d = \sqrt[3]{{6{t^2}}}\), trong đó là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời (tính bằng triệu dặm) và là độ dài năm của hạnh tinh đó (tính bằng số ngày Trái Đất).
(Theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008).
a) Nếu độ dài của một năm trên Sao Hoả là \(687\) ngày Trái Đất thì khoảng cách từ Sao Hoả đến Mặt Trời là bao nhiêu?
b) Tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời (coi một năm trên Trái Đất có 365 ngày).
(Kết quả của câu a và câu b tính theo đơn vị triệu dặm và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Biểu thức \(P = \sqrt[3]{{{x^2}\sqrt {{x^3}} }}\) với \(x > 0\) được rút gọn bằng:
A. \(P = {x^{\frac{5}{3}}}\)
B. \(P = {x^{\frac{7}{6}}}\)
C. \(P = {x^{\frac{1}{3}}}\)
D. \(P = {x^{\frac{5}{6}}}\)
Một chất phóng xạ có chu kì bán rã là 25 năm, tức là cứ sau 25 năm, khối lượng của chất phóng xạ đó giảm đi một nửa. Giả sử lúc đầu có 10 g chất phóng xạ đó. Viết công thức tính khối lượng của chất đó còn lại sau t năm và tính khối lượng của chất đó còn lại sau 120 năm (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn theo đơn vi gam).
Cường độ ánh sáng tại độ sâu h (m) dưới một mặt hồ được tính bằng công thức \({I_h} = {I_o}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{h}{4}}}\), trong đó \({I_o}\) là cường độ ánh sáng tại mặt hồ đó.
a) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 1m bằng bao nhiêu phần trăm so với cường độ ánh sáng tại mặt hồ?
b) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 3m gấp bao nhiêu lần cường độ ánh sáng tại độ sâu 6m?
