Năng lượng giải tỏa E của một trận động đất tại tâm địa chấn ở M độ Richte được xác định bởi
công thức log(E) = 11,4 + 1,5M. Vào năm 1995, Thành phố X xảy ra một trận động đất 8 độ Richte và năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn của nó gấp 14 lần trận động đất xảy ra tại thành phố Y vào năm 1997. Hỏi khi đó độ lớn của trận động đất tại thành phố Y là bao nhiêu độ Richte (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cô Hương gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 6% một năm.

a) Tính số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo một trong các thể thức sau:

- Lãi kép kì hạn 12 tháng;

- Lãi kép kì hạn 1 tháng;

- Lãi kép liên tục.

b) Tính thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thẻ thức lãi kép liên tục (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Tính:

a) \({\log _2}{2^{ - 13}};\)               

b) \(\ln {e^{\sqrt 2 }};\)                  

c) \({\log _8}16 - {\log _8}2;\)                     

d) \({\log _2}6.{\log _6}8.\)

Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) \(A = \ln \left( {\frac{x}{{x - 1}}} \right) + \ln \left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right) - \ln \left( {{x^2} - 1} \right);\)                       

b) \(B = 21{\log _3}\sqrt[3]{x} + {\log _3}\left( {9{x^2}} \right) - {\log _3}9.\)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A = {\log _{\frac{1}{3}}}5 + 2{\log _9}25 - {\log _{\sqrt 3 }}\frac{1}{5};\)                               

b) \(B = {\log _a}{M^2} + {\log _{{a^2}}}{M^4}.\)

Biết rằng độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là

\(a = 15\,\,500\left( {5 - \log p} \right),\)

Trong đó a là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và p là áp suất không khí (tính bằng pascal).

Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển.

Mức cường độ âm L đo bằng decibel (dB) của âm thanh có cường độ I (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu W/m²) được định nghĩa như sau:

\(L\left( I \right) = 10\log \frac{I}{{{I_0}}},\)

trong đó \({I_0} = {10^{ - 12}}{\rm{W}}/{m^2}\) là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).

Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ \(I = {10^{ - 7}}{\rm{W}}/{m^2}.\)

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ \(I = {10^{ - 3}}{\rm{W}}/{m^2}.\)

Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức \(M\left( t \right) = 75 - 20\ln \left( {t + 1} \right),\,\,0 \le t \le 12\) (đơn vị: %). Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng.

Đặt \({\log _2}5 = a,{\log _3}5 = b\). Khi đó, \({\log _6}5\) tính theo \(a\) và \(b\) bằng

A. \(\frac{{ab}}{{a + b}}\).                        

B. \(\frac{1}{{a + b}}\).                            

C. \({a^2} + {b^2}\).                     

D. \(a + b\).

Độ lớn \(M\) của một trận động đất theo thang Richter được tính theo công thức \(M = \log \frac{A}{{{A_0}}}\), trong đó \(A\) là biên độ lớn nhất ghi được bởi máy đo địa chấn, \({A_0}\) là biên độ tiêu chuẩn được sử dụng để hiệu chỉnh độ lệch gây ra bởi khoảng cách của máy đo địa chấn so với tâm chấn (ở Hoạt động mở đầu và Hoạt động 1, \({A_0} = 1\mu m\)).

a) Tính độ lớn của trận động đất có biên độ \(A\) bằng

i) \({10^{5,1}}{A_0}\);                                     ii) \(65000{A_0}\).

b) Một trận động đất tại địa điểm \(N\) có biên độ lớn nhất gấp ba lần biên độ lớn nhất của trận động đất tại địa điểm \(P\). So sánh độ lớn của hai trận động đất.

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \({\log _2}9.{\log _3}4\);       

b) \({\log _{25}}\frac{1}{{\sqrt 5 }}\);        

c) \({\log _2}3.{\log _9}\sqrt 5 .{\log _5}4\).

a) Nước cất có nồng độ H⁺ là \({10^{ - 7}}\) mol/L. Tính độ pH của nước cất.

b) Một dung dịch có nồng độ H⁺ gấp 20 lần nồng độ H⁺ của nước cất. Tính độ pH của dung dịch đó.

Giải bài toán được nêu ở phần mở đầu:

Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: \(pH =  - \log \left[ {{H^ + }} \right]\) với \(\left[ {{H^ + }} \right]\) là nồng độ ion hydrogen. Người ta đo được nồng độ ion hydrogen của một cốc nước cam là \({10^{ - 4}}\), nước dừa là \({10^{ - 5}}\) (nồng độ tính bằng mol \({L^{ - 1}}\)).

Trong nuôi trồng thủy sản, độ pH của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khỏe và sự phát triển của thủy sản. Độ pH thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ 7,2 đến 8,8 và tốt nhất là trong khoảng từ 7,8 đến 8,5. Phân tích nồng độ \([{H^ + }]\) trong một đầm nuôi tôm sú, ta thu được \([{H^ + }] = {8.10^{ - 8}}\). Hỏi độ pH của đ­­ầm đó có thích hợp cho tôm sú phát triển không?

Một vi khuẩn có khối lượng khoảng \({5.10^{ - 13}}\) gam và cứ 20 phút vi khuẩn đó tự nhân đôi một lần. Giả sử các vi khuẩn được nuôi trong các điều kiện sinh trưởng tối ưu và mỗi con vi khuẩn đều tồn tại trong ít nhất 60 giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất (lấy khối lượng của Trái Đất là \({6.10^{27}}\) gam) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trong một trận động đất, năng lượng giải tỏa E (đơn vị: Jun, kí hiệu J) tại tâm địa chấn ở M độ Richter được xác định xấp xỉ bởi công thức: \(\log E \approx 11,4 + 1,5M\)

a) Tính xấp xỉ năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter.

b) Năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 8 độ Richter gấp khoảng bao nhiêu lần năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter?

Khi gửi tiết kiệm \(P\) (đồng) theo thể thức trả lãi kép định kì với lãi suất mỗi kì là \(r\) ( \(r\) cho dưới dạng số thập phân) thì số tiền \(A\) (cả vốn lẫn lãi) nhận được sau \(t\) kì gửi là \(A = P{(1 + r)^t}\) (đồng). Tính thời gian gửi tiết kiệm cần thiết đề số tiền ban đầu tăng gấp đôi.

Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất \(8{\rm{\% }}\) một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao lâu người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng?

Nồng độ cồn trong máu (BAC) là chỉ số dùng để đo lượng cồn trong máu của một người. Chẳng hạn, \({\rm{BAC}}\,\,0,02{\rm{\% }}\) hay \(0,2{\rm{mg}}/{\rm{ml}}\), nghĩa là có \(0,02{\rm{\;g}}\) cồn trong \(100{\rm{ml}}\) máu. Nếu một người với \({\rm{BAC}}\) bằng \(0,02{\rm{\% }}\) có nguy cơ bị tai nạn ô tô cao gấp 1,4 lần so với một người không uống rượu, thì nguy cơ tương đối của tai nạn với \({\rm{BAC}}\,\,0,02{\rm{\% }}\) là 1,4. Nghiên cứu y tế gần đây cho thấy rằng nguy cơ tương đối của việc gặp tai nạn khi đang lái ô tô có thể được mô hình hoá bằng một phương trình có dạng \(R = {e^{kx}}{\rm{,\;}}\)

trong đó \( \times \left( {\rm{\% }} \right)\) là nồng độ cồn trong máu và \(k\) là một hằng số.

a) Nghiên cứu chỉ ra rằng nguy cơ tương đối của một người bị tai nạn với \({\rm{BAC}}\) bằng \(0,02{\rm{\% }}\) là 1,4. Tìm hằng số \({\rm{k}}\) trong phương trình.

b) Nguy cơ tương đối là bao nhiêu nếu nồng độ cồn trong máu là \(0,17{\rm{\% }}\)?

c) Tìm BAC tương ứng với nguy cơ tương đối là 100.

d) Giả sử nếu một người có nguy cơ tương đối từ 5 trở lên sẽ không được phép lái xe, thì một người có nồng độ cồn trong máu từ bao nhiêu trở lên sẽ không được phép lái xe?

Để tính độ tuổi của mẫu vật bằng gỗ, người ta đo độ phóng xạ của \({}_6^{14}C\) có trong mẫu vật tại thời điểm \(t\)(năm) (so với thời điểm ban đầu \(t = 0\)), sau đó sử dụng công thức tính độ phóng xạ \(H = {H_0}{e^{ - \lambda t}}\) (đơn vị là Becquerel, kí hiệu Bq) với \({H_0}\) là độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm \(t = 0\)); \(\lambda  = \frac{{\ln 2}}{T}\) là hằng số phóng xạ, \(T = 5730\)(năm) (Nguồn: Vật lí 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2014). Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xạ là 0,215 Bq. Biết độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại là 0,250 Bq. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).