Từ một nhóm 30 học sinh lớp 12 gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh khối C, cần chọn ra 15 học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho:
a) Số học sinh mỗi khối là bằng nhau?
b) Có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C?
Áp dụng công thức tính số tổ hợp.
a) Số cách chọn 5 học sinh mỗi khối A, B, C lần lượt là: \(C_{15}^5\), \(C_{10}^5\), \(C_5^5\).
Vậy số cách chọn thỏa mãn là \(C_{15}^5 C_{10}^5 C_5^5 = 756756\) (cách).
b) Ta sử dụng quy tắc loại trừ như sau:
Xét bài toán 1: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B hoặc khối A: có \(C_5^2C_{25}^{13}\) cách.
Xét bài toán 2: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B và khối A không thỏa mãn yêu cầu.
- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối C, 10 học sinh khối B và 3 học sinh khối A có \(C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3\) cách.
- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối C, 9 học sinh khối B và 4 học sinh khối A có \(C_5^2C_{10}^9C_{15}^4\) cách.
Vậy số cách chọn thỏa mãn là \(C_5^2C_{25}^{13} - C_{10}^{10}C_{15}^3 - C_{10}^9C_{15}^4 = 51861950\) (cách).
