Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-3 ; -1), B(3 ; 5), C(3 ; -4). Gọi G, H, I lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, AC.
b) Tìm toạ độ các điểm G, H, I.
c) Tính diện tích tam giác ABC.
a) Tìm các VTPT của các đường thẳng AB, BC, AC rồi viết PTTQ.
b) Tham số hóa tọa độ các điểm G, H, I (nếu cần).
Bước 1: Tìm tọa độ trọng tâm G theo công thức \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\).
Bước 2: Giải hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\) để tìm tọa độ trực tâm H.
Bước 3: Giải hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right.\) để tìm tọa độ tâm I.
Bước 4: Tính khoảng cách từ A đến BC là chiều cao của ∆ABC.
Bước 5: Tính độ dài BC rồi tính diện tích ∆ABC.
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (6;6),\overrightarrow {BC} = (0; - 9),\overrightarrow {AC} = (6; - 3)\).
+ Chọn \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 1)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {AB} = 0\). Khi đó AB đi qua A(-3 ; -1) và nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 1)\) nên có PT: x - y + 2 = 0.
+ Chọn \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;0)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {BC} = 0\). Khi đó BC đi qua B(3 ; 5) và nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;0)\) nên có PT: x – 3 = 0.
+ Chọn \(\overrightarrow {{n_3}} = (1;2)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{n_3}} .\overrightarrow {AC} = 0\). Khi đó AC đi qua C(3 ; -4) và nhận \(\overrightarrow {{n_3}} = (1;2)\) nên có PT: x + 2y + 5 = 0.
b) Ta có:
+ G là trọng tâm ∆ABC nên \( \Rightarrow G(1;0)\).
+ Gọi \(H({x_H};{y_H})\) là trực tâm ∆ABC . Ta có: \(\overrightarrow {AH} = ({x_H} + 3;{y_H} + 1),\overrightarrow {BH} = ({x_H} - 3;{y_H} - 5)\).
Khi đó\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9({y_H} + 1) = 0\\6({x_H} - 3) - 3({y_H} - 5)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_H} + 1 = 0\\2{x_H} - {y_H} - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} = - 1\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow H(0; - 1)\).
+ Gọi \(I({x_I};{y_I})\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có: \(\overrightarrow {IA} = {( - 3 - {x_I}; - 1 - {y_I})^2} \Rightarrow IA = \sqrt {{{({x_I} + 3)}^2} + {{({y_I} + 1)}^2}} \Rightarrow I{A^2} = {({x_I} + 3)^2} + {({y_I} + 1)^2}\).
\(\overrightarrow {IB} = {(3 - {x_I};5 - {y_I})^2} \Rightarrow IB = \sqrt {{{({x_I} - 3)}^2} + {{({y_I} - 5)}^2}} \Rightarrow I{B^2} = {({x_I} - 3)^2} + {({y_I} - 5)^2}\).
\(\overrightarrow {IC} = {(3 - {x_I}; - 4 - {y_I})^2} \Rightarrow IC = \sqrt {{{({x_I} - 3)}^2} + {{({y_I} + 4)}^2}} \Rightarrow I{C^2} = {({x_I} - 3)^2} + {({y_I} + 4)^2}\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({x_I} + 3)^2} + {({y_I} + 1)^2} = {({x_I} - 3)^2} + {({y_I} - 5)^2}\\{({x_I} + 3)^2} + {({y_I} + 1)^2} = {({x_I} - 3)^2} + {({y_I} + 4)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12{x_I} + 12{y_I} = 24\\12{x_I} - 6{y_I} = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} + {y_I} = 2\\4{x_I} - 2{y_I} = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{3}{2}\\{y_I} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
Vậy \(G(1;0),H(0; - 1),I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
c) Ta có: \(d(A,BC) = \frac{{\left| { - 3 - 3} \right|}}{1} = 6\).
\(\overrightarrow {BC} = (0; - 9) \Rightarrow BC = 9\).
Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}AD.BC = \frac{1}{2}.6.9 = 27\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm A(-1; 0) và B(3; 1).
a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB.
Cho tam giác\(A{F_1}{F_2}\), trong đó\(A\left( {0;{\rm{ }}4} \right),{\rm{ }}{F_1}\left( { - {\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),{\rm{ }}{F_2}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\).
a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng \(A{F_1}\) và \(A{F_2}\).
b) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(A{F_1}{F_2}\).
c) Lập phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\) sao cho (E) đi qua A.
Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu sân bay A có hệ trục toạ độ Oxy (Hình 65), trong đó đơn vị trên mỗi trục tính theo ki-lô-mét và đài kiểm soát được coi là gốc toạ độ O(0 : 0). Nếu máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 500 km thì sẽ hiển thị trên màn hình ra đa như một điểm chuyển động trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy. Một máy bay khởi hành từ sân bay B lúc 14 giờ. Sau thời gian t (giờ), vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M có toạ độ như sau:\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t\\y = \frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t\end{array} \right.\)
a) Tìm vị trí của máy bay lúc 14 giờ 30 phút. Thời điểm này máy bay đã xuất hiện trên màn hình ra đa chưa?
b) Lúc mấy giờ máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất? Tính khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó.
c) Máy bay ra khỏi màn hình ra đa vào thời gian nào?
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có ba đỉnh A(-1;3), B(1;2), C(4;-2).
a) Viết phương trình đường thẳng BC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Viết phương trình đường tròn có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC.
Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tọa độ các điểm M thuộc \(\left( E \right)\) biết rằng M nhìn hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) dưới một góc vuông.
Một cái cổng bán nguyệt rộng 6,8m, cao 3,4m. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn cho xe ra vào.
a) Viết phương trình mô phỏng cái cổng.
b) Một chiếc xe tải rộng 2,4 m và cao 2,5 m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng được hay không?
Màn hình của rada tại trạm điều khiển không lưu được thiết lập hệ tọa độ \(Oxy\) với vị trí trạm có tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và rada có bán kính hoạt động là 600 km. Một máy bay khởi hành từ sân bay lúc 8 giờ. Cho biết sau t giờ máy bay có tọa đô: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 180t\\y = 1 - 180t\end{array} \right.\)
a) Tìm tọa độ máy bay lúc 9 giờ.
b) Tính khoảng cách giữa máy bay và trạm điều khiển không lưu.
c) Lúc mấy giờ máy bay ra khỏi tầm hoạt động của rada.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các đường thẳng:
∆1: x + y + 1 = 0, ∆2: 3x + 4y + 20 = 0, ∆3: 2x - y + 50 = 0
và đường tròn (C): (x + 3)2 + (y −1)2 = 9.
Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng đã cho đối với đường tròn (C).
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1 ; 0) và B(0 ; 3). Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn MA = 2MB.
