Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng của mỗi cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: 3x + y - 5 = 0 và ∆2: x + 2y − 3 = 0.
b) \({\Delta _3}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt 3 t'\\y = - t'\end{array} \right.\).
c) \({\Delta _5}: - \sqrt 3 x + 3y + 2 = 0\) và \({\Delta _6}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 - \sqrt 3 t\end{array} \right.\).
Bước 1: Đưa các PT của mỗi ý về cùng dạng PT đường thẳng.
Bước 2: Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến (chỉ phương) của 2 đường thẳng rồi suy ra góc giữa hai đường thẳng tương ứng.
a) ∆1: 3x + y - 5 = 0 và ∆2: x + 2y − 3 = 0.
∆1 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = (3;1)\); ∆2 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;2)\).
Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{3.1 + 1.2}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\)\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = {45^0}\).
Vậy \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {45^0}\).
b) \({\Delta _3}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt 3 t'\\y = - t'\end{array} \right.\).
∆3 có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = (\sqrt 3 ;3)\); ∆4 có VTPT là \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - \sqrt 3 ; - 1)\).
Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\sqrt 3 .\left( { - \sqrt 3 } \right) + 3.( - 1)}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {{( - 1)}^2}} }}\)\( = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = {150^0}\).
Vậy \(\left( {{\Delta _3},{\Delta _4}} \right) = {180^0} - {150^0} = {30^0}\).
c) \({\Delta _5}: - \sqrt 3 x + 3y + 2 = 0\) và \({\Delta _6}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 - \sqrt 3 t\end{array} \right.\).
∆5 có VTPT là \(\overrightarrow n = ( - \sqrt 3 ;3)\) \( \Rightarrow {\Delta _5}\) có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_3}} = (3;\sqrt 3 )\).
∆6 có VTCP là \(\overrightarrow {{u_4}} = (3; - \sqrt 3 )\).
Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {{u_3}} ,\overrightarrow {{u_4}} } \right) = \frac{{3.3 + \sqrt 3 .\left( { - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} }}\)\( = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_3}} ,\overrightarrow {{u_4}} } \right) = {60^0}\).
Vậy \(\left( {{\Delta _5},{\Delta _6}} \right) = {60^0}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.,{\rm{ }}{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = 5 + 3t'\end{array} \right.\)
Hai đường thẳng cắt nhau \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đó. Nêu mối quan hệ giữa:
a) \(\varphi \) và góc \(\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\).
b) \(\cos \varphi \) và \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\).
Tính góc giữa hai đường thẳng: \({\rm{ }}{\Delta _1}:{\rm{ }}x + 3y + 2{\rm{ }} = {\rm{ }}0,{\rm{ }}{\Delta _2}:{\rm{ }}y = 3x + 1\)
Tính góc giữa hai đường thẳng:
a) \({\Delta _1}:\sqrt 3 x + y - 4 = 0\) và\({\Delta _2}:x + \sqrt 3 y + 3 = 0\)
b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + s\\y = 1 - 3s\end{array} \right.\)
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) trong các trường hợp sau:
a) \({\Delta _1}:x + 3y - 7 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 2y + 3 = 0\).
b) \({\Delta _1}:4x - 2y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 13 + 2t\end{array} \right.\)
c) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 7 + 2t\\y = 1 - t\end{array} \right.\)
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trong các trường hợp sau:
a) \({d_1}:x - 2y + 3 = 0\) và \({d_2}:3x - y - 11 = 0\)
b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.\) và \({d_2}:x + 5y - 5 = 0\)
c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 7 + 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 9 + 2t\end{array} \right.\)
Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \({d_1}:x - y + 2 = 0\) và \({d_2}:x + y + 4 = 0\)
b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:x - 3y + 2 = 0\)
c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t'\\y = 3 + t'\end{array} \right.\)
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong môi trường hợp sau:
a) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 3\sqrt 3 t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:y - 4 = 0\).
b) \({\Delta _1}:2x - y = 0\) và \({\Delta _2}: - x + 3y - 5 = 0\).
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = {\rm{ }}\left( {{a_1};{\rm{ }}{b_1}} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {{u_2}} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{a_2};{b_2}} \right)\) . Tính \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)\).
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau tại I và có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \). Gọi A và B là các điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) sao cho \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow {IB} \).
a) Quan sát Hình 41a, Hình 41b, hãy nhận xét về độ lớn của góc giữa hai đường thẳng.
\({\Delta _1},{\Delta _2}\)và độ lớn của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {IA} \),\(\overrightarrow {IB} \).
b) Chứng tỏ cos(\({\Delta _1},{\Delta _2}\)) = \(\left| {cos\left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)} \right|\).
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:2x - y + 5 = 0\) và\({d_2}:x - 3y + 3 = 0\).
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:y - 1 = 0\) và \(k:x - y + 4 = 0\).
b) \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2t\end{array} \right.\) và \(b:3x + y + 1 = 0\).
c) \(m:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 - \sqrt 3 t\end{array} \right.\) và \(n:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - t'\\y = \sqrt 3 t'\end{array} \right.\).
Cho hai đường thẳng \(d:x - 2y - 5 = 0\) và \(k:x + 3y + 3 = 0\). Góc giữa hai đường thẳng d và k là:
A. \({30^ \circ }\)
B. \({135^ \circ }\)
C. \({45^ \circ }\)
D. \({60^ \circ }\)
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trong các trường hợp sau:
a) \({d_1}:5x - 3y + 1 = 0\) và \({d_2}:10x - 6y - 7 = 0\).
b) \({d_1}:7x - 3y + 7 = 0\) và \({d_2}:3x + 7y - 10 = 0\).
c) \({d_1}:2x - 4y + 9 = 0\) và \({d_2}:6x - 2y - 2023 = 0\).
Tìm góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
a) \({d_1}:5x - 9y + 2019 = 0\) và \({d_2}:9x + 5y + 2020 = 0\).
b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + 9t\\y = 7 + 18t\end{array} \right.\) và \({d_2}:4x - 12y + 13 = 0\).
c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 - 5t\\y = 13 + 9t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 13 + 10t\\y = 11 - 18t\end{array} \right.\).
Cho ∆1: x − 2y + 3 = 0 và ∆2: -2x – y + 5 = 0. Số đo góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là:
A. 30⁰
B. 45⁰
C. 90°
D. 60⁰
Cho \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + \sqrt 3 t\\y = 1 - t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 3 t'\\y = 2 + t'\end{array} \right.\). Số đo góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là:
A. 300
B. 450
C. 900
D. 600
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt 3 t'\\y = - t'\end{array} \right.\)
Số đo góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là:
A. 300
B. 450
C. 900
D. 600
