Khai triển các biểu thức sau:
a) \({\left( {x + 3y} \right)^4}\).
b) \({\left( {3 - 2x} \right)^5}\).
c) \({\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^5}\).
d) \({\left( {3\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}\).
Khai triển \({\left( {a + b} \right)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}{b^1} + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4{b^1}{a^4} + C_5^5{a^5}\).
Khai triển \({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3{a^1}{b^3} + C_4^4{b^4}\).
a) \({\left( {x + 3y} \right)^4} = C_4^0{x^4}{\left( {3y} \right)^0} + C_4^1{x^3}{\left( {3y} \right)^1} + C_4^2{x^2}{\left( {3y} \right)^2} + C_4^3{x^1}{\left( {3y} \right)^3} + C_4^4{x^0}{\left( {3y} \right)^4}\)
\({x^4} + 12{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 108{x^1}{y^3} + 81{y^4}\)
b) \(\begin{array}{l}{\left( {3 - 2x} \right)^5} = C_5^0{3^5}{\left( { - 2x} \right)^0} + C_5^1{3^4}{\left( { - 2x} \right)^1} + C_5^2{3^3}{\left( { - 2x} \right)^2} + C_5^3{3^2}{\left( { - 2x} \right)^3} + C_5^4{3^1}{\left( { - 2x} \right)^4} + C_5^5{3^0}{\left( { - 2x} \right)^5}\\ = 243 - 810{x^1} + 1080{x^2} - 720{x^3} + 240{x^4} - 32{x^5}\end{array}\)
c) \(\begin{array}{l}{\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^5} = C_5^0{x^5}{\left( { - \frac{2}{x}} \right)^0} + C_5^1{x^4}{\left( { - \frac{2}{x}} \right)^1} + C_5^2{x^3}{\left( { - \frac{2}{x}} \right)^2} + C_5^3{x^2}{\left( { - \frac{2}{x}} \right)^3} + C_5^4{x^1}{\left( { - \frac{2}{x}} \right)^4} + C_5^5{x^0}{\left( { - \frac{2}{x}} \right)^5}\\ = {x^5} - 10{x^3} + 40x - \frac{{80}}{x} + \frac{{80}}{{{x^3}}} - \frac{{32}}{{{x^5}}}\end{array}\)
d)
\(\begin{array}{l}{\left( {3\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4} = C_4^0{\left( {3\sqrt x } \right)^4}{\left( { - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^0} + C_4^1{\left( {3\sqrt x } \right)^3}{\left( { - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^1} + C_4^2{\left( {3\sqrt x } \right)^2}{\left( { - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}\\ + C_4^3{\left( {3\sqrt x } \right)^1}{\left( { - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3} + C_4^4{\left( {3\sqrt x } \right)^0}{\left( { - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}\\ = 81{x^2} - 108x + 54 - \frac{{12}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}\end{array}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Ta đã biết \({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = 1.{a^3} + 3.{a^2}.{b^1} + 3.{a^1}.{b^2} + 1.{b^3}\).
Làm thế nào để khai triển các biểu thức \({\left( {a + b} \right)^4},{\left( {a + b} \right)^5}\) một cách nhanh chóng?
Tương tự như HĐ3, sau khi khai triển \({(a + b)^5}\), ta thu được một tổng gồm \({2^5}\) đơn thức có dạng x. y. z. t. u, trong đó mỗi kí hiệu x, y, z, t, u là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, z là a, còn y, t, u là b thì ta có đơn thức a. b. a. b. b, thu gọn là \({a^2}{b^3}\). Để có đơn thức này, thì trong 5 nhân tử x, y, z, t, u có 3 nhân tử là b, 2 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với \({a^3}b\) trong tổng là \(C_5^3\).
Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau.
\({a^5};{a^4}b;{a^3}{b^2};{a^2}{b^3};a{b^4};{b^5}?\)
Hãy vẽ sơ đồ hình cây của khai triển \({(a + b)^4}\) được mô tả như Hình 8.9. Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm \({2^4}\) (theo quy tắc nhân) đơn thức có dạng x. y. z. t, trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, y, t là a, còn z là b thì ta có đơn thức a. a. b. a, thu gọn là \({a^3}b\). Để có đơn thức này, thì trong 4 nhân tử x, y, z, t có 1 nhân tử là b, 3 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với \({a^3}b\) trong tổng là \(C_4^1\).
Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau.
\({a^4};\quad {a^3}b;\quad {a^2}{b^2};\quad a{b^3};\quad {b^4}?\)
Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H 8.7) của tích (a+b).(a+b).(a+b).
Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng \({a^3},{a^2}b,a{b^2},{b^3}?\)
Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển \({(a + b)^3}.\)
Hãy xây dựng sơ đồ của tích hai nhị thức (a+b).(c+d) như sau:
Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất (H 8.6);
Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;
Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhân của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.
Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a+b).(c+d).
Trong khai triển của \({(5x - 2)^5}\), số mũ của x được sắp xếp theo lũy thừa tăng dần, hãy tìm hạng tử thứ hai.
Xác định hạng tử không chứa x trong khai triển của \({\left( {x + \frac{2}{x}} \right)^4}\).
Khai triển \({\left( {{z^2} + 1 + \frac{1}{z}} \right)^4}\).
Khai triển và rút gọn biểu thức \(\left( {x - 2} \right){\left( {2x + 1} \right)^4}\).
Tìm giá trị của tham số a để trong khai triển \(\left( {a + x} \right){\left( {1 + x} \right)^4}\) có một số hạng \(22{x^2}\).
Biết rằng trong khai triển \({\left( {ax - 1} \right)^5}\), hệ số của \({x^4}\) gấp 4 lần hệ số của \({x^2}\). Hãy tìm giá trị của tham số a.
Biết rằng trong khai triển của \({\left( {ax + \frac{1}{x}} \right)^4}\), số hạng không chứa \(x\) là 24. Hãy tìm giá trị của tham số \(a\).
Cho biểu thức \(A = {\left( {2 + x} \right)^4} + {\left( {2 - x} \right)^4}\).
a) Khai trển và rút gọn biểu thức A.
b) Sử dụng kết quả ở câu a, tính gần đúng \(A = 2,{05^4} + 1,{95^4}\).
Trong khai triển \({\left( {\sqrt x - 2} \right)^5}\), hệ số của \({x^4}\) bằng:
A. -5
B. 5
C. -10
D. 10
Giả sử \({\left( {2x + 1} \right)^4} = {a_o} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + {a_4}{x^4}\). Hãy tính:
a) \({a_o} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4}\).
b) \({a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4}\).
