Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cách 1:

Gọi \(A\) là biến cố: "Lấy được từ hộp II quả bóng được chuyển từ hộp I sang".

\(B\) là biến cố: "Lấy được từ hộp II quả bóng có màu đỏ".

Ta cần tính \(P(A\mid B)\).

Gọi \({B_1}\) là biến cố: "Lấy được từ hộp I quả bóng màu đỏ",

\({B_2}\) là biến cố: "Lấy được từ hộp I quá bóng màu vàng".

Khi đó \(P\left( {{B_1}} \right) = \frac{6}{{10}};P\left( {{B_2}} \right) = \frac{4}{{10}}\); \(P\left( {B\mid {B_1}} \right) = \frac{8}{{11}};P\left( {B\mid {B_2}} \right) = \frac{7}{{11}}\).

Theo công thức xác suất toàn phần:

\(P(B) = P\left( {{B_1}} \right)P\left( {B\mid {B_1}} \right) + P\left( {{B_2}} \right)P\left( {B\mid {B_2}} \right)\)\( = \frac{6}{{10}} \cdot \frac{8}{{11}} + \frac{4}{{10}} \cdot \frac{7}{{11}} = \frac{{38}}{{55}}.\)

Dể thấy \(P(A) = \frac{1}{{11}}\) và \(AB = A{B_1}\).

Vì hai biến cố \(A\) và \({B_1}\) độc lập nên:

\(P(AB) = P\left( {A{B_1}} \right) = P(A)P\left( {{B_1}} \right) = \frac{1}{{11}} \cdot \frac{6}{{10}} = \frac{3}{{55}}.\)

Xác suất cần tìm là: \(P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{3}{{55}}}}{{\frac{{38}}{{55}}}} = \frac{3}{{38}} \approx 0,08.\)

Cách 2:

Ta có: \(n(\Omega ) = 10.11 = 110\)

Gọi \(A\) là biến cố: "Lấy được bóng từ hộp II mà quả đó được chuyển từ hộp I sang",

\(B\) là biến cố: "Lấy được bóng có sẵn từ hộp II".

\(C\) là biến cố: "Lấy được bóng màu đỏ từ hộp II".

Ta có \(P(C) = \frac{{6.8 + 4.7}}{{110}} = \frac{{76}}{{110}};P(A \cap C) = \frac{{6.1}}{{110}} = \frac{6}{{110}}\).

Xác suất cần tìm là: \(P(A|C) = \frac{{P(C \cap A)}}{{P(C)}} = \frac{{\frac{6}{{110}}}}{{\frac{{76}}{{110}}}} = \frac{6}{{76}} \approx 0,08.\)