Đề bài

Cho \(\sin \alpha  = \frac{1}{2}\) với \({0^o} < \alpha  < {90^o}\).

a) \(\cos \alpha  < 0\).

Đúng
Sai

b) \({\cos ^2}\alpha  = \frac{5}{9}\).

Đúng
Sai

c) \(\cos ({180^o} - \alpha ) =  - \frac{1}{3}\).

Đúng
Sai

d) Giá trị biểu thức \(P = \frac{{\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha  + \cos \alpha }} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}\).

Đúng
Sai
Đáp án

a) \(\cos \alpha  < 0\).

Đúng
Sai

b) \({\cos ^2}\alpha  = \frac{5}{9}\).

Đúng
Sai

c) \(\cos ({180^o} - \alpha ) =  - \frac{1}{3}\).

Đúng
Sai

d) Giá trị biểu thức \(P = \frac{{\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha  + \cos \alpha }} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}\).

Đúng
Sai
Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về dấu của các giá trị lượng giác của các góc.

Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\), \(\cos ({180^o} - \alpha ) =  - \cos \alpha \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Sai. Có \({0^o} < \alpha  < {90^o}\) suy ra \(\cos \alpha  > 0\).

b) Sai. \({\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\).

c) Sai. Vì \(\cos \alpha  > 0\) nên \(\cos \alpha  = \sqrt {\frac{8}{9}}  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

\(\cos ({180^o} - \alpha ) =  - \cos \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

d) Đúng. Ta có: \(P = \frac{{\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha  + \cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{2.\frac{1}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}\).

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

a) \(\left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)

Xem lời giải >>
Bài 2 :

c) \(\cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)

Xem lời giải >>
Bài 3 :

b) \({\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a) \(\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{{B + C}}{2}\)

b) \(\tan \frac{{B + C}}{2} = \cot \frac{A}{2}\)

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

\(A = {(\sin {20^o} + \sin {70^o})^2} + {(\cos {20^o} + \cos {110^o})^2}\)

\(B = \tan {20^o} + \cot {20^o} + \tan {110^o} + \cot {110^o}.\)

Xem lời giải >>
Bài 6 :

a) \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1\)

Xem lời giải >>
Bài 7 :

b) \(\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\;({0^o} < \alpha  < {180^o},\alpha  \ne {90^o})\)

Xem lời giải >>
Bài 8 :

c) \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\;(\alpha  \ne {90^o})\)

Xem lời giải >>
Bài 9 :

d) \(1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\;({0^o} < \alpha  < {180^o})\)

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Cho góc \(\alpha \) với \(\cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Tính giá trị của biểu thức \(A = 2{\sin ^2}\alpha  + 5{\cos ^2}\alpha .\)

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Cho \(\alpha \) là góc tù và \(\tan \alpha  + \cot \alpha  =  - 2\). Tính giá trị biểu thức \(M = \frac{{\sqrt 2 }}{4}(\sin \alpha  - \cos \alpha )\) (viết kết quả dưới dạng số thập phân).

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Cho góc \(\alpha \) (\({0^o} < \alpha  < {180^o}\)) thỏa mãn \(\tan \alpha  =  - \frac{5}{{12}}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = \frac{{3\sin \alpha  - 5\cos \alpha }}{{4\sin \alpha  + \cos \alpha }}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Tính \(C = {\sin ^2}{10^o} + {\sin ^2}{20^o} + ... + {\sin ^2}{170^o} + {\sin ^2}{180^o}\).

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Tính giá trị của các biểu thức:

a) \(A = \sin {45^ \circ } + 2\sin {60^ \circ } + \tan {120^ \circ } + \cos {135^ \circ }.\)

b) \(B = \tan {45^ \circ }.\cot {135^ \circ } - \sin {30^ \circ }.\cos {120^ \circ } - \sin {60^ \circ }.\cos {150^ \circ }.\)

c) \(C = {\cos ^2}{5^ \circ } + {\cos ^2}{25^ \circ } + {\cos ^2}{45^ \circ } + {\cos ^2}{65^ \circ } + {\cos ^2}{85^ \circ }.\) \(\)

d) \(D = \frac{{12}}{{1 + {{\tan }^2}{{73}^ \circ }}} - 4\tan {75^ \circ }.\cot {105^ \circ } + 12{\sin ^2}{107^ \circ } - 2\tan {40^ \circ }.\cos {60^ \circ }.\tan {50^ \circ }.\)

e) \(E = 4\tan {32^ \circ }.\cos {60^ \circ }.\cot {148^ \circ } + \frac{{5{{\cot }^2}108}}{{1 + {{\tan }^2}{{18}^ \circ }}} + 5{\sin ^2}{72^ \circ }.\)

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Cho góc \(\alpha ,\,\,{90^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ }\) thỏa mãn \(\sin \alpha  = \frac{3}{4}.\) Tính giá trị của biểu thức

\(F = \frac{{\tan \alpha  + 2\cot \alpha }}{{\tan \alpha  + \cot \alpha }}.\)

Xem lời giải >>
Bài 18 :

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \({0^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ },\,\,\tan \alpha  = 2.\) Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(G = 2\sin \alpha  + \cos \alpha .\)

b) \(H = \frac{{2\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}.\)

Xem lời giải >>
Bài 19 :

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \({0^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ },\,\,\tan \alpha  = \sqrt 2 .\) Tính giá trị của biểu thức

\(K = \frac{{{{\sin }^3}\alpha  + \sin \alpha .{{\cos }^2}\alpha  + 2{{\sin }^2}\alpha .\cos \alpha  - 4{{\cos }^3}\alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}.\)

Xem lời giải >>
Bài 20 :

Chứng minh rằng:

a) \({\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha .\)

b) \({\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  = 1 - 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha .\)

c) \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha  + 6{{\cos }^2}\alpha  + 3}  + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha  + 4{{\sin }^2}\alpha }  = 4.\)

Xem lời giải >>
Bài 21 :

Góc nghiêng của mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tai nắng lúc giữa trưa với mặt đất. Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào giữa trưa (khoang 12 giờ), em có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất, đo độ dài của bóng thước trên mặt đất. Khi đó, tang của góc nghiêng Mặt Trời tại vị trí đặt thước bằng tỷ số giữa độ dài cửa thước và độ dài bóng thước. Góc nghiêng của Mặt Trời phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đo và phụ thuộc vào thời gian đo trong năm (ngày thứ mấy trong năm). Tại vị trí có vĩ độ \(\varphi \) và ngày thứ \(N\) trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời \(\alpha \) còn được tính theo công thức sau:

\(\alpha  = {90^ \circ } - \varphi  - \left| {\cos \left( {\left( {\frac{{2\left( {N + 10} \right)}}{{365}} - m} \right){{180}^ \circ }} \right)} \right|.23,{5^ \circ }\)

Trong đó \(m = 0\) nếu \(1 \le N \le 172,\,\,m = 1\) nếu \(173 \le N \le 355,\,\,m = 2\) nếu \(356 \le N \le 365.\)

a) Hãy áp dụng công thức trên để tính góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 trong năm không nhuận (năm mà tháng 2 có 28 ngày) tại vị trí có vĩ độ \(\varphi  = {20^ \circ }.\)

b) Hãy xác định vĩ độ tại nơi em sinh sống và tính góc nghiêng của Mặt Trời tại đó theo hai cách đã được đề cập trong bài toán (đo trực tiếp và tính theo công thức) và so sánh hai kết quả thu được.

Chú ý: Công thức tính toán nói trên chính xác tới \( \pm 0,{5^ \circ }.\)

Góc nghiêng của Mặt Trời có ảnh hưởng tới sự hấp thu nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm trên Trái Đất, chẳng hạn vào mùa hè, góc nghiêng lớn nên nhiệt độ cao.

Xem lời giải >>
Bài 22 :

Cho góc nhọn \(\alpha \) có \(\tan \alpha  = \frac{3}{4}.\) Giá trị của \(\sin \alpha .\cos \alpha \) bằng

A. \(\frac{4}{3}.\)

B. \(\frac{{12}}{{25}}.\)

C. \(\frac{{25}}{{12}}.\)

D. \(\frac{3}{4}.\)

Xem lời giải >>
Bài 23 :

Cho góc nhọn \(\alpha \,\,\left( {{0^ \circ } < \alpha  < {{180}^ \circ }} \right)\) thỏa mãn \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = 1.\) Giá trị của \(\cot \alpha \) bằng:

A. \(0.\)

B. \(1.\)

C. \( - 1.\)

D. Không tồn tại

Xem lời giải >>
Bài 24 :

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt 2 .\) Giá trị của \(\tan \alpha  + \cot \alpha \) là:

A. 1.

B. \( - 2\).

C. 0.

D. 2.

Xem lời giải >>
Bài 25 :

Cho \(\cos \alpha  = \frac{1}{4}.\) Giá trị của \(P = \frac{{\tan \alpha  + 2\cot \alpha }}{{2\tan \alpha  + 3\cot \alpha }}\) là:

A. \( - \frac{{17}}{{33}}.\)

B. \(\frac{{17}}{{33}}.\)

C. \(\frac{1}{2}.\)

D. \(\frac{{16}}{{33}}.\)

Xem lời giải >>
Bài 26 :

Cho góc tù \(\alpha \) có \(\sin \alpha  = \frac{1}{3}.\)

a) Tính \(cos\alpha ,\,\,\tan \alpha ,\,\,\cot \alpha .\)

b) Tính giá trị của các biểu thức:

\(\) \(\begin{array}{l}A = \sin \alpha .\cot \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) + \cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right).\cot \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right).\\B = \frac{{3\left( {\sin \alpha  + \sqrt 2 .\cos \alpha } \right) - 2}}{{\sin \alpha  - \sqrt 2 .\cos \alpha }}.\end{array}\)

Xem lời giải >>
Bài 27 :

Cho \(\sin {15^ \circ } = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}.\)

a) Tính \(\sin {75^ \circ },\,\,\cos {105^ \circ },\,\,\tan {165^ \circ }.\)

b) Tính giá trị của biểu thức

\(A = \sin {75^ \circ }.\cos {165^ \circ } + \cos {105^ \circ }.\sin {165^ \circ }.\)

Xem lời giải >>
Bài 28 :

Chứng minh rằng

a) \(\sin 138^\circ  = \sin 42^\circ \) 

b) \(\tan 125^\circ  =  - \cot 35^\circ \)

Xem lời giải >>
Bài 29 :

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

a) \(\tan B =  - \tan \left( {A + C} \right)\)     

b) \(\sin C = \sin \left( {A + B} \right)\)

Xem lời giải >>
Bài 30 :

Chứng minh rằng với mọi góc \(x\left( {0^\circ  \le x \le 90^\circ } \right)\), ta đều có:

a) \(\sin x = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} \) 

b) \(\cos x = \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} \)

c) \({\tan ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\left( {x \ne 90^\circ } \right)\)

d) \({\cot ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\left( {x \ne 0^\circ } \right)\)

Xem lời giải >>