Chứng minh các định lí sau:
a) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.
b) Cho một mặt phẳng và một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng đó. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho và vuông góc với mặt phẳng đã cho.
a) Giả sử có ba mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\), \(\left( R \right)\) thoả mãn \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\) và \(\left( P \right) \bot \left( R \right)\). Ta cần chứng minh \(\left( Q \right) \bot \left( R \right)\).
b) Xét đường thẳng \(d\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Chỉ ra rằng tồn tại duy nhất mặt phẳng \(\left( Q \right)\) vuông góc với \(\left( P \right)\) và chứa \(d\).
a)
Giả sử có ba mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\), \(\left( R \right)\) thoả mãn \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\) và \(\left( P \right) \bot \left( R \right)\). Ta cần chứng minh \(\left( Q \right) \bot \left( R \right)\). Thật vậy, gọi \(a\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( R \right)\). Lấy đường thẳng \(d\) nằm trong \(\left( R \right)\) sao cho \(a \bot d\).
Vì \(\left( P \right) \bot \left( R \right)\), \(a = \left( P \right) \cap \left( R \right)\), \(a \bot d\), ta suy ra \(d \bot \left( P \right)\).
Mà \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\), ta có \(d \bot \left( Q \right)\). Do \(d \subset \left( R \right)\) nên ta suy ra \(\left( Q \right) \bot \left( R \right)\). Bài toán được chứng minh.
b) Xét đường thẳng \(d\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Chỉ ra rằng tồn tại duy nhất mặt phẳng \(\left( Q \right)\) vuông góc với \(\left( P \right)\) và chứa \(d\).
Xét trường hợp \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(A\). (Các trường hợp \(d \subset \left( P \right)\) và \(d\parallel \left( P \right)\) chứng minh tương tự).
Lấy \(M \in d\) sao cho \(M \ne A\). Vẽ đường thẳng \(a\) đi qua \(M\) sao cho \(a \bot \left( P \right)\). Ta nhận xét rằng \(a\) và \(d\) cắt nhau, nên mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa hai đường thẳng \(a\) và \(d\).
Vì \(a \bot \left( P \right)\), \(a \subset \left( Q \right)\) nên ta suy ra \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\).
Giả sử tồn tại mặt phẳng \(\left( {Q'} \right)\) sao cho \(\left( P \right) \bot \left( {Q'} \right)\) và \(d \subset \left( {Q'} \right)\). Ta thấy rằng \(d\) là giao tuyến của \(\left( {Q'} \right)\) và \(\left( Q \right)\). Do \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\) và \(\left( P \right) \bot \left( {Q'} \right)\), ta suy ra \(d \bot \left( P \right)\). Điều này là vô lí, vì \(d\) không vuông góc với \(\left( P \right)\). Như vậy, \(\left( Q \right)\) là duy nhất.
Bài toán được chứng minh.
Các bài tập cùng chuyên đề
Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:
a) Các mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC);
b) Giao tuyển của hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.
Cho mặt phẳng \((P)\) vuông góc với mặt phẳng \((Q)\) và a là giao tuyến của \((P)\) và \((Q)\). Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu nào đúng?
A. Đường thẳng \(d\) nằm trên \((Q)\) thì \(d\) vuông góc với \((P)\).
B. Đường thẳng \(d\) nằm trên \((Q)\) và \(d\) vuông góc với a thì d vuông góc với \((P)\).
C. Đường thẳng \(d\) vuông góc với a thì \(d\) vuông góc với \((P)\).
D. Đường thẳng \(d\) vuông góc với \((Q)\) thì \(d\) vuông góc với \((P)\).
Nêu cách đặt một quyển sách lên mặt bàn sao cho tất cả các trang sách đều vuông góc với mặt bàn.
Trong Hình 54, hai bìa của cuốn sách gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc với mặt bàn. Hãy dự đoán xem gáy sách có vuông góc với mặt bàn hay không.
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\left( {ABD} \right) \bot \left( {BCD} \right)\) và \(CD \bot BD\). Chứng minh rằng tam giác \(ACD\) vuông.
Cho hình chóp \(S.OAB\) thoả mãn \(\left( {AOS} \right) \bot \left( {AOB} \right)\), \(\widehat {AOS} = \widehat {AOB} = {90^ \circ }\) (Hình 51).
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AOS} \right)\) và \(\left( {AOB} \right)\) là đường thẳng nào?
b) \(SO\) có vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AOS} \right)\) và \(\left( {AOB} \right)\) hay không?
c) \(SO\) có vuông góc với mặt phẳng \(\left( {AOB} \right)\) hay không?
Chứng minh định lí sau: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Chứng minh các định lí sau:
a) Nếu hai mặt phẳng (phân biệt) cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau theo một giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
b) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt còn lại.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA = a\sqrt 3 \). Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).
a) Tìm các giao tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với các mặt của hình chóp.
b) Các giao tuyến ở câu a tạo thành hình gì? Tính diện tích của hình đó.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
A. Song song với nhau.
B. Trùng nhau.
C. Không song song với nhau.
D. Hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì:
A. Song song với nhau.
B. Trùng nhau.
C. Không song song với nhau.
D. Song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Khi đó mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) vuông góc với đường thẳng:
A. \(SA\).
B. \(SB\).
C. \(SC\).
D. \(SD\).
Hình dưới đây gợi nên hình ảnh một số cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. Hãy chỉ ra 2 cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
