Trung tâm kiểm soát và phòng ngừa dịch bệnh Hoa Kỳ (Centers for Disease Control and Prevention, viết tắt là CDC) thống kê vào thời điểm năm 2020 – 2021 về số lượng sốc phản vệ sau khi tiêm vaccine ở một số nơi tại Hoa Kỳ và châu Âu như sau: Trong 360,19 triệu liều vaccine P được sử dụng có 581 ca sốc phản vệ (có khả năng gây tử vong) và 4 259 ca phản ứng phụ (không sốc phản vệ, không gây tử vong); trong 67,72 triệu liều vaccine A được sử dụng có 195 ca sốc phản vệ và 1118 ca phản ứng phụ.
(Nguồn: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC8626274/)
a) Xét ngẫu nhiên một người trong số được thống kê ở trên. Tính xác suất để người đó thuộc trường hợp sốc phản vệ (có khả năng gây tử vong).
b) Nếu gặp một người có biểu hiện sốc phản vệ (có khả năng gây tử vong) trong số này thì có thể nói khả năng cao là người đó đã tiêm vaccine P hay A?
- Xác định các biến số cần thiết.
- Sử dụng các công thức sau:
1. Công thức xác suất xảy ra biến cố \(A\) (người được chọn thuộc trường hợp sốc phản vệ): \(P(A) = \frac{{{X_{{\rm{total}}}}}}{{{N_{{\rm{total}}}} \times {{10}^6}}}.\)
2. Xác suất để người gặp sốc phản vệ đã tiêm vaccine \(P\) (\(P(C|A)\)):
\(P(C|A) = \frac{{P(AC)}}{{P(A)}}\quad ;\quad P(AC) = \frac{{{X_C}}}{{{N_{{\rm{total}}}} \times {{10}^6}}}.\)
3. Xác suất để người gặp sốc phản vệ đã tiêm vaccine \(A\) (\(P(B|A)\)):
\(P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}}\quad ;\quad P(AB) = \frac{{{X_B}}}{{{N_{{\rm{total}}}} \times {{10}^6}}}.\)
Gọi
- A là biến cố “Người được chọn thuộc trường hợp sốc phản vệ”.
- B là biến cố “Người được chọn đã tiêm vaccine A”.
- C là biến cố “Người được chọn đã tiêm vaccine P”.
a) Tính xác suất để người được chọn thuộc trường hợp sốc phản vệ
Tổng số ca sốc phản vệ: \({X_{{\rm{total}}}} = {X_B} + {X_C} = 195 + 581 = 776.\)
Tổng số liều vaccine được sử dụng: \({N_{{\rm{total}}}} = {N_B} + {N_C} = 67,72 + 360,19 = 427,91{\mkern 1mu} \)
Xác suất để người được chọn thuộc trường hợp sốc phản vệ:
\(P(A) = \frac{{{X_{{\rm{total}}}}}}{{{N_{{\rm{total}}}} \times {{10}^6}}} = \frac{{776}}{{427,91 \times {{10}^6}}} \approx 0,000001814{\mkern 1mu} (1,814 \times {10^{ - 6}}).\)
b) Tính xác suất người gặp sốc phản vệ đã tiêm vaccine \(P\) hay \(A\):
Tính \(P(C|A)\) (xác suất người gặp sốc phản vệ đã tiêm vaccine \(P\)):
\(P(AC) = \frac{{{X_C}}}{{{N_{{\rm{total}}}} \times {{10}^6}}} = \frac{{581}}{{427,91 \times {{10}^6}}} \approx 0,000001358.\)
\(P(C|A) = \frac{{P(AC)}}{{P(A)}} = \frac{{0,000001358}}{{0,000001814}} \approx 0,749{\mkern 1mu} (74,9\% ).\)
Tính \(P(B|A)\) (xác suất người gặp sốc phản vệ đã tiêm vaccine \(A\)):
\(P(AB) = \frac{{{X_B}}}{{{N_{{\rm{total}}}} \times {{10}^6}}} = \frac{{195}}{{427,91 \times {{10}^6}}} \approx 0,000000456.\)
\(P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{{0,000000456}}{{0,000001814}} \approx 0,251{\mkern 1mu} (25,1\% ).\)
Khả năng cao người đó đã tiêm vaccine \(P\) vì: \(P(C|A) \approx 74,9\% , P(B|A) \approx 25,1\% .\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Chứng tỏ rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì \(P\left( {\overline A |B} \right) = P\left( {\overline A } \right)\) và \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\)
Trở lại Ví dụ 1. Tính \(P\left( {A|\overline B } \right)\) bằng định nghĩa và bằng công thức.
Trong một túi có một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 cái kẹo màu cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm một cái kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là \(\frac{1}{3}\). Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu cái kẹo?
Cho \(P\left( A \right) = \frac{2}{5};P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{3};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{4}\).
Giá trị của P(B) là
A. \(\frac{{19}}{{60}}\).
B. \(\frac{{17}}{{60}}\).
C. \(\frac{9}{{20}}\).
D. \(\frac{7}{{30}}\).
Bạn An có một túi gồm một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 chiếc kẹo sô cô la đen, còn lại 4 chiếc kẹo sô cô la trắng. An lấy ngẫu nhiên 1 chiếc kẹo trong túi để cho Bình, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp 1 chiếc kẹo nữa trong túi và cũng đưa cho Bình.
Xác suất để Bình nhận được 2 chiếc kẹo sô cô la đen là
A. \(\frac{1}{3}\).
B. \(\frac{1}{4}\).
C. \(\frac{2}{5}\).
D. \(\frac{3}{7}\).
Gọi A là biến cố “Trời mưa” và B là biến cố “Bán hết vé” trong tình huống mở đầu.
a) Tính \(P\left( A \right),P\left( {\overline A } \right),P\left( {B|A} \right),P\left( {B|\overline A } \right)\).
b) Trong hai xác suất P(A) và P(B), nhà tổ chức sự kiện quan tấm đến xác suất nào nhất?
Bạn An có một túi gồm một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 chiếc kẹo sô cô la đen, còn lại 4 chiếc kẹo sô cô la trắng. An lấy ngẫu nhiên 1 chiếc kẹo trong túi để cho Bình, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp 1 chiếc kẹo nữa trong túi và cũng đưa cho Bình.
Xác suất để Bình nhận được 2 chiếc kẹo sô cô la trắng là
A. \(\frac{1}{5}\).
B. \(\frac{2}{{15}}\).
C. \(\frac{3}{{16}}\).
D. \(\frac{4}{{17}}\).
Bạn An có một túi gồm một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 chiếc kẹo sô cô la đen, còn lại 4 chiếc kẹo sô cô la trắng. An lấy ngẫu nhiên 1 chiếc kẹo trong túi để cho Bình, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp 1 chiếc kẹo nữa trong túi và cũng đưa cho Bình.
Xác suất để Bình nhận được chiếc kẹo sô cô la đen ở lần thứ nhất, chiếc kẹo sô cô la trắng ở lần thứ hai là
A. \(\frac{1}{5}\).
B. \(\frac{3}{{16}}\).
C. \(\frac{1}{4}\).
D. \(\frac{4}{{17}}\).
Để thử nghiệm tác dụng điều trị bệnh mất ngủ của hai loại thuốc X và thuốc Y, người ta tiến hành thử nghiệm với 4 000 người bệnh tình nguyện. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê \(2 \times 2\) sau:
Chọn ngẫu nhiên một người bệnh tham gia tình nguyện thử nghiệm thuốc.
a) Tính xác suất để người đó khỏi bệnh nếu biết người đó uống thuốc X.
b) Tính xác suất để người bệnh đó uống thuốc Y, biết rằng người đó khỏi bệnh.
Một nhóm có 25 học sinh, trong đó có 14 em học khá môn Toán, 16 em học khá môn Vật lí, 1 em không học khá cả hai môn Toán và môn Vật lí. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó. Tính xác suất để học sinh đó:
a) Học khá môn Toán, đồng thời học khá môn Vật lí;
b) Học khá môn Toán, nhưng không học khá môn Vật lí;
c) Học khá môn Toán, biết rằng học sinh đó học khá môn Vật lí.
Trong bài toán ở phần mở đầu, hãy tính:
a) Xác suất để học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh, biết rằng học sinh đó là nữ;
b) Tỉ số \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\). Từ đó, hãy so sánh xác suất tính được ở câu a) với tỉ số \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Bài toán mở đầu: Một lớp có 17 học sinh nữ và 13 học sinh nam. Ở lớp học đó, có 3 học sinh tên là Thanh, trong đó có 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh lên bảng. Xét hai biến cố sau:
A: “Học sinh được gọi lên bảng tên là Thanh”;
B: “Học sinh được gọi lên bảng là học sinh nữ”.
Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố:
A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”;
B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.
Chứng minh rằng A, B là hai biến cố độc lập.
Một xạ thủ bắn vào bia số 1 và bia số 2. Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng bia số 1, bia số 2 lần lượt là 0,8; 0,9. Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng cả hai bia là 0,8. Xét hai biến cố sau:
A: “Xạ thủ đó bắn trúng bia số 1”;
B: “Xạ thủ đó bắn trúng bia số 2”.
a) Hai biến cố A và B có độc lập hay không?
b) Biết xạ thủ đó bắn trúng bia số 1, tính xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2.
c) Biết xạ thủ đó không bắn trúng bia số 1, tính xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2.
Máy tính và thiết bị lưu điện (UPS) được kết nối như hình dưới đây. Khi xảy ra sự cố điện, UPS bị hỏng với xác suất 0,02. Nếu UPS bị hỏng khi xảy ra sự cố điện, máy tính sẽ bị hỏng với xác suất 0,1; ngược lại, nếu UPS không bị hỏng, máy tính sẽ không bị hỏng.
a) Tính xác suất để cả UPS và máy tính đều không bị hỏng khi xảy ra sự cố điện.
b) Tính xác suất để cả UPS và máy tính đều bị hỏng khi xảy ra sự cố điện.
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) có \(P\left( A \right) = 0,8\); \(P\left( B \right) = 0,5\) và \(P\left( {AB} \right) = 0,2\).
a) Xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện \(B\) là
A. \(0,4\)
B. \(0,5\)
C. \(0,25\)
D. \(0,625\)
b) Xác suất biến cố \(B\) không xảy ra với điều kiện biến cố \(A\) xảy ra là
A. \(0,6\)
B. \(0,5\)
C. \(0,75\)
D. \(0,25\)
c) Giá trị biểu thức \(\frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} - \frac{{P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\) là
A. \( - 0,5\)
B. \(0\)
C. \(0,5\)
D. \(1\)
Một nhà máy thực hiện khảo sát toàn bộ công nhân về sự hài lòng của họ về điều kiện làm việc tại phân xưởng. Kết quả khảo sát như sau:
Gặp ngẫu nhiên một công nhân của nhà máy. Gọi
\(A\) là biến cố “Công nhân đó làm việc tại phân xưởng I” và \(B\) là biến cố “Công nhân đó hài lòng với điều kiện làm việc tại phân xưởng”.
a) Xác suất của biến cố \(A\) là
A. \(\frac{{37}}{{140}}\)
B. \(\frac{{37}}{{50}}\)
C. \(\frac{5}{{14}}\)
D. \(\frac{1}{2}\)
b) Xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện \(B\) là:
A. \(0,37\)
B. \(0,5\)
C. \(\frac{{37}}{{50}}\)
D. \(\frac{5}{{14}}\)
c) Xác suất của biến cố \(B\) với điều kiện \(A\) không xảy ra là:
A. \(\frac{2}{7}\)
B. \(0,9\)
C. \(0,7\)
D. \(\frac{9}{{20}}\)
Có hai cái hộp giống nhau, hộp thứ nhất chứa 5 quả bóng bàn màu trắng và 3 quả bóng bàn màu vàng, hộp thứ hai chứa 4 quả bóng bàn màu trắng và 6 quả bóng bàn màu vàng. Các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Minh lấy ra ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp thứ nhất. Nếu quả bóng đó là bóng vàng thì Minh lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng từ hộp thứ hai; nếu quả bóng đó màu trắng thì Minh lấy ra ngẫu nhiên 3 quả bóng từ hộp thứ hai.
a) Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất để có đúng 1 quả bóng màu vàng trong các quả bóng lấy ra từ hộp thứ hai.
b) Biết rằng các quả bóng lấy ra từ hộp thứ hai đều có màu trắng. Tính xác suất để quả bóng lấy ra từ hộp thứ nhất có màu vàng.
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).
Lớp 12A có 40 học sinh. Trong một buổi kiểm tra định kì, số học sinh của lớp được chia thành hai phòng như sau:
Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 12A.
Xét các biến cố:
\(A\): “Học sinh được chọn ở phòng 2”;
\(B\): “Học sinh được chọn là học sinh nữ”.
a) Biến cố học sinh được chọn là học sinh nữ ở phòng 2 là \(A \cap B\).
b) \(P\left( {A \cap B} \right) \ne \frac{3}{{10}}\).
c) \(P\left( B \right) = \frac{{21}}{{40}}\).
d) \(P\left( {A|B} \right) = \frac{4}{7}\).
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).
Một doanh nghiệp trước khi xuất khẩu mũ thời trang trong lô hàng X phải qua hai lần kiểm tra chất lượng sản phẩm, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc mũ trong lô hàng đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 96% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và 91% sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ nhất sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc mũ thời trang trong lô hàng X.
Xét các biến cố:
\(A\): “Chiếc mũ thời trang chọn ra qua được lần kiểm tra thứ nhất”;
\(B\): “Chiếc mũ thời trang chọn ra qua được lần kiểm tra thứ hai”.
a) Xác suất để chiếc mũ thời trang qua được lần kiểm tra thứ hai, biết rằng đã qua được lần kiểm tra thứ nhất, là xác suất có điều kiện \(P\left( {B|A} \right)\).
b) Xác suất để một chiếc mũ thời trang đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là \(P\left( {B \cap A} \right)\).
c) \(P\left( {B|A} \right) > 0,91\).
d) Xác suất để một chiếc mũ thời trang đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là 0,8736.
Chọn đáp án đúng.
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) có \(P\left( A \right) = 0,4;P\left( B \right) = 0,8\) và \(P\left( {A|B} \right) = 0,25\).
a) Xác suất của biến cố \(A\) giao \(B\) là
A. 0,1.
B. 0,2.
C. 0,25.
D. 0,4.
b) Xác suất của \(B\) với điều kiện \(A\) là
A. 0,2.
B. 0,25.
C. 0,5.
D. 0,75.
c) Xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện \(A \cup B\) là
A. 0,4.
B. 0,5.
C. 0,8.
D. 1.
Chọn đáp án đúng.
Toàn thể nhân viên của một công ty được hỏi ý kiến về một dự thảo chính sách phúc lợi mới. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:
Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của công ty. Gọi \(A\) là biến cố “Nhân viên đó là nam giới” và \(B\) là biến cố “Nhân viên đó ủng hộ dự thảo chính sách phúc lợi mới”.
a) Xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện \(B\) là:
A. \(\frac{9}{{16}}\).
B. \(\frac{{15}}{{19}}\).
C. \(\frac{{21}}{{50}}\).
D. \(\frac{7}{{16}}\).
b) Xác suất của biến cố \(B\) với điều kiện \(A\) là:
A. \(\frac{9}{{16}}\).
B. \(\frac{{15}}{{19}}\).
C. \(\frac{{21}}{{50}}\).
D. \(\frac{7}{{16}}\).
c) Xác suất xảy ra ít nhất một trong hai biến cố \(A\) và \(B\) là:
A. 0,45.
B. 0,67.
C. 0,8.
D. 0,92.
Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d.
Ông Khải lần lượt rút ra một cách ngẫu nhiên 2 lá bài từ bộ bài tây 52 lá. Lá bài rút ra không được trả lại. Gọi \(A\) là biến cố “Lá bài đầu tiên rút ra là chất cơ” và \(B\) là biến cố “Lá bài thứ hai rút ra là lá Q”.
a) Xác suất của biến cố \(A\) là 0,25.
b) Xác suất của biến cố \(A\) giao \(B\) là 0,25.
c) Xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện \(B\) là 0,25.
d) \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
Một xạ thủ lần lượt bắn 2 viên đạn vào một bia. Xác suất trúng bia của viên thứ nhất là 0,7; của viên thứ hai là 0,8 và của cả 2 viên là 0,6. Gọi \(A\) là biến cố “Viên đạn thứ nhất trúng bia”, \(B\) là biến cố “Viên đạn thứ hai trúng bia”.
a) Tính \(P\left( {A|B} \right)\) và \(P\left( {B|A} \right)\).
b) Hai biến cố \(A\) và \(B\) có độc lập không, tại sao?
Một nhóm 50 học sinh có 23 bạn biết chơi cầu lông mà không biết chơi bóng đá và 21 bạn biết chơi bóng đá mà không biết chơi cầu lông. Biết rằng mỗi học sinh trong nhóm này biết chơi bóng đá hoặc cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm. Tính xác suất học sinh này biết chơi bóng đá, biết rằng bạn ấy biết chơi cầu lông.
Trong cuộc khảo sát 300 gia đình ở một khu vực, người ta nhận thấy có 90% gia đình có ti vi và 60% gia đình có máy tính bàn. Mỗi gia đình đều có ít nhất một trong hai thiết bị này. Chọn ngẫu nhiên một gia đình. Tính xác suất gia đình đó có máy tính bàn trong nhóm các gia đình có ti vi.
Trong một cuộc khảo sát trên một nhóm gồm 50 học sinh chơi cầu lông có cả các bạn nam và các bạn nữ, số liệu thống kê các bạn thuận tay trái và thuận tay phải được cho như Bảng 6.3.
Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh trong nhóm này. Gọi A là biến cố "Người được chọn là bạn nam", B là biến cố "Chọn được người thuận tay trái", C là biến cố "Chọn được người thuận tay phải".
Tính và giải thích ý nghĩa của P(A|B) và P(A|C).
Cho các biến cố A và B thoả mãn P(A) = 0,45; P(B) = 0,75 và \(P\left( {A \cap \bar B} \right) = 0,3.\) Khi đó P(A|B) bằng:
Trước khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó. Kết quả thống kê như sau: có 105 người trả lời "sẽ mua"; có 95 người trả lời "không mua". Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời "sẽ mua" và "không mua" lần lượt là \(70\% \) và \(30\% \).
Gọi là biến cố "Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm".
Gọi là biến cố "Người được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm".
Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,4 và khả năng thắng thầu của dự án 2 là 0,5. Khả năng thắng thầu cả 2 dự án là 0,3. Gọi A là biến cố: “Thắng thầy dự án 1”, B là biến cố: “Thắng thầu dự án 2”.
Có hai hộp đựng bi: hộp I có 6 viên bi vàng và 4 viên bi đỏ; hộp II có 7 viên bi vàng và 3 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I và chuyển nó sang hộp II. Sau đó, chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II. Tính xác suất để viên bi được chọn từ hộp II là viên bi đã được chuyển từ hộp I, biết rằng viên bi đó là viên bi vàng (làm tròn đến hàng phần trăm).
