Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN.

a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AK}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \)

b) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {KD}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

a) Ta có: \(\overrightarrow {AK}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN} )\) (vì \(K\) là trung điểm của \(\left. {MN} \right)\)

Mà M là trung điểm AB, suy ra \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)

Lại có: \(NA = \frac{1}{2}NC \Rightarrow AN = \frac{1}{3}AC \Rightarrow \overrightarrow {AN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AK}  = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\) \( = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {KD}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {KC} )\) (do D là trung điểm BC)

\( = \frac{1}{2}(\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {AC} ) = \overrightarrow {KA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \) \( =  - \overrightarrow {AK}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

\( =  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) (đpcm)