Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\) có đồ thị. Biết đồ thị của hàm số có đỉnh \(I(1;1)\) và đi qua điểm \(A(2;3)\). Tính tổng \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

A. \(3\).                          

B. \(4\).                       

C. \(29\).                     

D. \(1\).

Hàm số có hoành độ đỉnh \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} = 1\), tung độ đỉnh \({y_I} = a{.1^2} + b.1 + c = 1\)

Điểm \(A(2;3)\) thuộc đồ thị nên \(a{.2^2} + b.2 + c = 3\) hay \(4a + 2b + c = 3\)

Từ đó ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + c = 1}\\{4a + 2b + c = 3}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + c = 1}\\{4a + 2b + c = 3}\\{2a + b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b =  - 4}\\{c = 3}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)=29

Chọn C.