Cho \(\alpha ,\beta \) lần lượt là góc giữa hai véc tơ pháp tuyến bất kì và góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Chọn nhận định đúng:
-
A.
\(\alpha = \beta \)
-
B.
\(\alpha = {180^0} - \beta \)
-
C.
\(\sin \alpha = \sin \beta \)
-
D.
\(\cos \alpha = \cos \beta \)
Sử dụng công thức cô sin góc giữa hai mặt phẳng: $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}$
Ta có: $\cos \beta = \cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|$ $ = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}$
Do đó \(0 \le \beta \le {90^0}\), trong khi \(0 \le \alpha \le {180^0}\) nên hai góc này có thể bằng nhau cũng có thể bù nhau, do đó A, B sai.
Ngoài ra, khi \(\alpha = \beta \) hay \(\alpha =180^0 - \beta \) thì ta đều có \(\sin \alpha = \sin \beta \) nên C đúng.
D sai trong trường hợp hai góc bù nhau.
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) thì giá của \(\overrightarrow n \) :
Hai véc tơ không cùng phương \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của \(\left( P \right)\) nếu giá của chúng:
Nếu \(\overrightarrow n \) là một VTPT của \(\left( P \right)\) thì một VTPT khác của \(\left( P \right)\) là:
Nếu hai véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì:
Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì véc tơ nào sau đây có thể là VTPT của \(\left( P \right)\)?
Cho \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là các VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\)
. Chọn kết luận sai?
Cho \(\overrightarrow a = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)\) là cặp VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT là:
Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) có một VTPT là:
Mặt phẳng \(\left( P \right):ax - by - cz - d = 0\) có một VTPT là:
Cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - z + 1 = 0\), tìm một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\) \(\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0.\) Điều kiện để hai mặt phẳng song song là:
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\) \(\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0.\) Điều kiện nào sau đây không phải điều kiện để hai mặt phẳng trùng nhau?
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0\). Nếu có \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\) thì ta kết luận được:
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0\). Nếu có \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\) thì:
Cho mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\). Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
Cho điểm \(M\left( {1;2;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + z = 0\). Khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( P \right)\) là:
Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z = 1,\left( Q \right):x + z + y - 2 = 0\) và điểm \(M\left( {0;1;1} \right)\). Chọn kết luận đúng:
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\) \(\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0.\) Công thức tính cô sin của góc giữa hai mặt phẳng là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} - y + z - 1 = 0\) . Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)
