Đề bài

Trong lô hàng 10 chiếc máy tính mới nhập về có 3 chiếc bị lỗi, 7 chiếc đạt chuẩn. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 4 chiếc máy tính trong lô hàng đó. Gọi X là số máy tính bị lỗi trong 4 chiếc được chọn ra.

a) Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.

b) Khi chọn ra 4 chiếc máy tính thì tình huống mấy chiếc bị lỗi có khả năng xảy ra cao nhất?

c) Tính xác suất để trong 4 chiếc máy tính được chọn ra có ít nhất 1 chiếc bị lỗi.

d) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

Phương pháp giải

a) X là số máy tính bị lỗi trong 4 chiếc được chọn ra, tức là có 0,1,2,3 cái máy tính bị lỗi. Ta tính được không gian mẫu, tính được số cách chọn 0,1,2,3 cái máy tính lỗi trong 4 máy tính từ đó tính được xác suất của mỗi lần được lấy ra 0,1,2,3 máy tính lỗi.

b) Dựa vào xác suất đưa ra kết luận được số chiếc bị lỗi có khả năng xảy ra cao nhất( xác suất lớn nhất).

c) Gọi \(P(A)\) là xác suất trong 4 chiếc chọn ra không có chiếc nào bị lỗi từ đó xác suất có ít nhất 1 chiếc bị lỗi là \(1 - P(A)\).

d) Để tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn áp dụng các công thức sau

\(\begin{array}{l}E(X) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + ... + {x_n}{p_n}\\V(X) = {({x_1} - \mu )^2}{p_1} + {({x_2} - \mu )^2}{p_2} + ... + {({x_n} - \mu )^2}{p_n}\\\sigma (X) = \sqrt {V(X)} \end{array}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) X là biến ngẫu nhiên rời rạc và có giá trị thuộc tập \(\left\{ {0;1;2;3} \right\}\)

Ta có \(n(\Omega ) = C_{10}^4 = 210.\)

+ Biến cố \(X = 0\) là biến cố :”Không có máy tính nào bị lỗi.”

Suy ra \(n(X = 0) = C_7^4 = 35 \Rightarrow P(X = 0) = \frac{{35}}{{210}}.\)

+ Biến cố \(X = 1\) là biến cố :” Có 1 chiếc máy bị lỗi trong 4 chiếc được chọn.”

Suy ra \(n(X = 1) = C_3^1.C_7^3 = 105 \Rightarrow P(X = 1) = \frac{{105}}{{210}}.\)

+ Biến cố \(X = 2\) là biến cố :” Có 2 chiếc máy bị lỗi trong 4 chiếc được chọn.”

Suy ra \(n(X = 2) = C_3^2.C_7^2 = 63 \Rightarrow P(X = 2) = \frac{{63}}{{210}}.\)

+ Biến cố \(X = 3\) là biến cố :” Có 3 chiếc máy bị lỗi trong 4 chiếc được chọn.”

Suy ra \(n(X = 3) = C_3^3.C_7^1 = 7 \Rightarrow P(X = 3) = \frac{7}{{210}}.\)

Bảng phân bố xác suất của X là:

b) Khi chọn ra 4 chiếc máy tính thì tình huống 1 máy tính bị lỗi có khả năng xảy ra cao nhất.

c) Gọi A là biến cố:” Trong 4 chiếc máy tính được chọn ra không có chiếc nào bị lỗi.”

Khi đó \(P(A) = P(X = 0) = \frac{{35}}{{210}}\)

Do đó xác suất để trong 4 chiếc máy tính được chọn ra có ít nhất 1 chiếc bị lỗi là:

\(P = 1 - P(X = 0) = 1 - \frac{{35}}{{210}} = \frac{5}{6}\)

d) Ta có:

\(\begin{array}{l}E(X) = 0.\frac{{35}}{{210}} + 1.\frac{{105}}{{210}} + 2.\frac{{63}}{{210}} + 3.\frac{7}{{210}} = 1,2\\V(X) = {(0 - 1,2)^2}.\frac{{35}}{{210}} + {(1 - 1,2)^2}.\frac{{105}}{{210}} + {(2 - 1,2)^2}.\frac{{63}}{{210}} + {(3 - 1,2)^2}.\frac{7}{{210}} = 0,56\\\partial (X) = \sqrt {0,56} \approx 0,75\end{array}\)

Xem thêm : Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Một trò chơi sử dụng một hộp đựng 20 quả cầu có kích thước và khối lượng như nhau được ghi số từ 1 đến 20. Người chơi lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu trong hộp. Gọi X là số lớn nhất ghi trên 3 quả cầu đã lấy ra.

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Người chơi thắng cuộc nếu trong 3 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả cầu ghi số lớn hơn 18. Tính xác suất thắng của người chơi.