Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.
Áp dụng phân bố nhị thức và công thức tính kì vọng của biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.
Gọi X là số câu trả lời đúng của An. Khi đó \(X \sim B(10;0,25)\).
Số điểm trung bình là \(E\left( X \right)\).
Vậy trung bình An nhận được số điểm trung bình là:
\(E(X) = 10.0,25 = 2,5\) (điểm)
b) An vượt qua bài thi khi làm đúng ít nhất 5 câu tức là khi X ≥ 5.
Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:
\(\begin{array}{l}P(X \ge 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + ... + P(X = 10)\\{\rm{ = }}C_{10}^5.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^5}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^5} + C_{10}^6.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^6}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} + ... + C_{10}^{10}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{10}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^0}{\rm{ = }}0,0781\end{array}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Trở lại tình huống mở đầu.
a) Tính xác suất thắng của người chơi khi chơi theo phương án 2.
b) Qua các kết quả đã tính được, hãy cho biết người chơi nên chọn chơi theo phương án nào để xác suất thắng cao hơn.
Hai bạn An và Bình thi đấu bóng bàn. Xác suất thắng của An trong một ván là 0,4. Hai bạn thi đấu đủ 3 ván đấu. Người nào có số ván đấu thắng nhiều hơn là người thắng trận đấu đó. Giả sử các ván đấu là độc lập. Tính xác suất để An thắng trong trận đấu.
Trong tình huống mở đầu. Xét phép thử T là gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi E là biến cố: “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.
a) Trong phương án 1, phép thử T được lặp lại bao nhiêu lần? Người chơi thắng khi biến cố E xuất hiện bao nhiêu lần?
b) Cũng hỏi như trên với phương án 2.
Khi tham gia một một trò chơi, người chơi gieo xúc xắc cân đối, đồng chất một cách độc lập liên tiếp 5 lần. Mỗi lần gieo nếu số chấm xuất hiện lớn hơn 4 thì người chơi được 10 điểm. Tính xác suất để người chơi nhận được ít nhất 30 điểm.
Viết bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên có phân bố Bernoulli.
Cho T là một phép thử và E là một biến cố liên quan tới phép thử T. Ta thực hiện phép thử T lặp lại n lần một cách độc lập. Ở mỗi lần thực hiện phép thử T, biến cố E có xác suất xuất hiện bằng p, tức là \(P\left( E \right) = p\), 0 < p < 1. Gọi X là số lần xuất hiện biến cố E trong n lần thực hiện lặp lại phép thử T. Tính \(P\left( {X = k} \right)\) với k ∈ {0; 1; …; n}.
Tại một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử, các linh kiện được sắp xếp vào từng hộp một cách độc lập, mỗi hộp 10 linh kiện. Hộp được xếp loại I nếu hộp đó có nhiều nhất một linh kiện không đạt tiêu chuẩn. Biết rằng xác suất để nhà máy sản xuất ra một linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn là 0,01. Hỏi tỉ lệ những hộp linh kiện điện tử loại I là bao nhiêu?
Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách ở mỗi câu hỏi chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, có kết quả:
a) 15 điểm.
b) Bị âm điểm.
Trong một trò chơi, mỗi ván người chơi gieo đồng thời 3 xúc xắc cân đối, đồng chất. Nếu có ít nhất 2 xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm thì người chơi giành chiến thắng ván chơi đó. Bác Hưng tham gia chơi 3 ván. Tính xác suất để bác Hưng thắng ít nhất 2 ván.
Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: màu vàng và màu xanh. Có hai gene ứng với hai kiểu hình này là allele trội A và allele lặn a. Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene.
Bốn bạn An, Bình, Sơn và Dương, mỗi bạn độc lập với nhau, thực hiện phép thử là lai hai cây đậu Hà Lan, trong đó cây bố có kiểu gene là Aa, cây mẹ có kiểu gene là Aa.
Gọi X là số cây con có hạt màu vàng trong số 4 cây con.
a) Lập bảng phân bố xác suất của X.
b) Hỏi trung bình có bao nhiêu cây con có hạt màu xanh?
Trong một lớp học có 6 bóng đèn hoạt động độc lập với nhau. Mỗi bóng có xác suất bị hỏng là 0,25. Gọi X là số bóng sáng.
a) Gọi tên phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X.
b) Biết rằng lớp học có đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng sáng. Tính xác suất để lớp học đủ ánh sáng.
c) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Sơn và Tùng thi đấu bóng bàn với nhau. Trận đấu gồm 5 ván độc lập. Xác suất thắng của Sơn trong mỗi ván là \(\frac{1}{4}\). Biết rằng mỗi ván không có kết quả hòa. Người thắng trận đấu nếu thắng ít nhất 3 ván đấu.
a) Gọi X là số trận thắng của Sơn. Hỏi X là biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất gì?
b) Tính xác suất để Sơn thắng Tùng trong trận đấu.
Cam xuất khẩu được đóng thành từng thùng. Xác suất để một quả cam không đạt chất lượng là 0,03. Vì số lượng cam trong mỗi thùng rất lớn nên không thể kiểm tra toàn bộ số cam trong thùng, người ta lấy ngẫu nhiên từ thùng cam 20 lần một cách độc lập, mỗi lần lấy 1 quả để kiểm tra rồi trả lại nó vào thùng. Gọi X là số quả cam không đạt chất lượng.
a) Gọi tên phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X.
b) Các thùng cam được phân thành ba loại theo cách sau:
Trong 20 lần lấy đó:
- Nếu tất cả các quả cam lấy ra đều đạt chất lượng thì thùng được xếp loại I;
- Nếu có 1 hoặc 2 quả cam không đạt chất lượng thì thùng được xếp loại II;
- Nếu có ít nhất 3 quả cam không đạt chất lượng thì thùng được xếp loại III.
Tính tỉ lệ các thùng cam được xếp loại I, II, III.
Có ba chiếc túi I, II và III. Túi I có chứa 5 viên bị trắng và 5 viên bị đen cùng kích thước, khối lượng. Túi II và III mỗi túi có chứa 2 viên bị trắng và 8 viên bị đen. Bạn Minh lấy ngẫu nhiên từ mỗi túi một viên bi. Gọi X là số viên bị trắng lấy được.
a) Lập bảng phân bố xác suất của X.
b) Chứng minh rằng X không phải là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.
Hai kì thủ Hoà và Trường thì một trận đấu cờ. Biết rằng thể lệ ở mỗi ván đấu trong trận này không có kết quả hoà. Xác suất thắng của Trưởng trong một văn là 0,4. Trận đấu gồm 7 ván. Người nào thắng một số ván lớn hơn là người thắng cuộc. Tính xác suất để Trường là người thắng cuộc.
Một hệ thống tin có n thành phần hoạt động độc lập với nhau. Xác suất hoạt động của mỗi thành phần là p. Hệ hoạt động nếu có ít nhất một nửa các thành phần hoạt động. Với giá trị nào của p thì hệ 5 thành phần tốt hơn hệ 3 thành phần?
Xét phép thử \(T\): “Một vận động viên bắn một phát súng vào mục tiêu”. Gọi \(X\) là số lần bắn trúng mục tiêu. Khi đó, \(X\) là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị thuộc tập hợp \(\{ 0,1\} \).
Giả sử \(P(X = 1) = p(0 < p < 1)\). Suy ra \(P(X = 0) = 1 - p\).
Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiêu rời rạc \(X\).
Xét phép thử lặp \({T_1}\): “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp một cách độc lập”. Gọi \(X\) là số lần mặt ngửa xuất hiện sau hai lần tung.
Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc \(X\).
a) Xét phép thử \(T\): “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất một lần”. Nêu những kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của đồng xu. Viết không gian mẫu \(\Omega \) của phép thử \(T\).
b) Xét phép thử \({T_1}\): “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp một cách độc lập” (\({T_1}\) còn được gọi là phép thử lặp và việc tung một đồng xu hai lần liên tiếp một cách độc lập được hiểu là kết quả có thể xảy ra của lần thứ hai không phụ thuộc vào kết quả có thể xảy ra của tung lần thứ nhất).
Nêu những kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của đồng xu sau hai lần tung. Viết không gian mẫu \({\Omega _1}\) của phép thử \({T_1}\).
c) Trong phép thử lặp \({T_1}\) ta xét các biến cố:
\({A_0}\): “Mặt sấp không xuất hiện trong cả hai lần tung”;
\({A_1}\): “Mặt sấp xuất hiện một lần trong cả hai lần tung”;
\({A_2}\): “Mặt sấp xuất hiện hai lần trong cả hai lần tung”;
- Tính \(P({A_0})\); \(P({A_1})\); \(P({A_2})\)
- Với mỗi \(k = 0;1;2\) hãy so sánh: \(P({A_k})\) với \(C_2^k.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^k}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2 - k}}\)
Một bác sĩ chữa khỏi bệnh A cho một người bị bệnh đó với xác suất 95%. Giả sử có 10 người bị bệnh A đến bác sĩ chữa một cách độc lập. Tính xác suất để:
a) Có 8 người khỏi bệnh A.
b) Có nhiều nhất là 9 người khỏi bệnh A.
Một người bắn bia với xác suất bắn trúng là 0,7.
a) Giả sử người đó bắn 3 lần liên tiếp một cách độc lập. Tính xác suất có ít nhất một lần bắn trúng bia.
b) Giả sử người đó bắn n lần liên tiếp một cách độc lập. Tìm giá trị nhỏ nhất của n sao cho xác suất có ít nhất 1 lần bắ trúng bia trong n lần bắ đó lớn hơn 0,9.
Một thành phố có 70% số gia đình có ti vi. Chọn ra ngẫu nhiên (có hoàn lại) một cách độc lập 20 gia đình. Gọi \(X\) là số gia đình có ti vi trong 20 gia đình đã chọn ra. Tính xác suất để:
a) Có đúng 10 gia đình có ti vi.
b) Có ít nhất 2 gia đình có ti vi.
Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất 10 lần liên tiếp một cách độc lập. Tính xác suất mặt 1 chấm xuất hiện đúng 3 lần trong 10 lần gieo đó.
Một hộp đựng các viên bi xanh và viên bi đỏ, các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Giả sử tỉ lệ số viên bi xanh trong hộp là 60%. Chọn ra ngẫu nhiên (có hoàn lại) một cách độc lập 15 viên bị trong hộp. Hãy tính xác suất của các tình huống sau:
a) Có 10 viên bi xanh trong 15 viên bi được chọn ra.
b) Có 7 viên bi đỏ trong 15 viên bi được chọn ra.
Anh Châu tham gia quảng cáo cho một loại sản phẩm. Xác suất 1 lần quảng cáo thành công (tức là bán được sản phẩm sau lần quảng cáo đó) của anh Châu là \(\frac{1}{3}.\)
Anh Châu thực hiện 12 lần quảng cáo liên tiếp một cách độc lập. Gọi \(X\) là số lần quảng cáo thành công trong 12 lần quảng cáo đó.
a) Tính xác suất để có từ 3 đến 5 lần quảng cáo thành công.
b) Tính số lần quảng cáo thành công có xác suất lớn nhất. Tính xác suất lớn nhất đó.
Giả sử tỉ lệ người dân tham gia giao thông ở Hà Nội có hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ là 80%. Chọn ngẫu nhiên (có hoàn lại) 20 người đang tham gia giao thông trên đường. Hãy tính xác suất của các tình huống sau:
a) Có 15 người hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ.
b) Có 8 người không hiểu biểu cơ bản về Luật giao thông đường bộ.
c) Số người không hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ có xác suất lớn nhất.
Giải sử một phòng thí nghiệm phải kiểm tra 120 mẫu máu người (mỗi mẫu của 1 người) để tìm ra các mẫu có chứa kháng thể \(X\). Giả sử xác suất để 1 mẫu máu có kháng thể \(X\) là 2% và các mẫu máu độc lập với nhau.
Do tính cấp bách của công tác phòng chống dịch nên thời gian dành cho xét nghiệm là rất ngắn. Thay vì xét nghiệm từng mẫu một, người ta làm như sau: Chia 120 mẫu thành 6 nhóm, mỗi nhóm có 20 mẫu. Lấy một ít máu từ mỗi mấu trong cùng một nhóm trộn với nhau để được 1 mẫu hỗn hợp rồi xét nghiệm mẫu hỗn hợp đó. Nếu kết quả xét nghiệm mẫu hỗn hợp là âm tính (mẫu hồn hợp không có kháng thể \(X\)) thì coi như cả 20 mẫu trong nhóm đề không có kháng thể \(X\), còn nếu mẫu hỗn hợp có kháng thể \(X\), thì làm tiếp 20 xét nghiệm, mỗi xét nghiệm cho từng mẫu của nhóm.
a) Xác suất để một mẫu máu hỗn hợp có chứa kháng thể \(X\) là bao nhiêu?
b) Gọi \(S\) là tổng số lần phải xét nghiệm cho cả 6 nhóm. Tính kì vọng và phương sai của biễn ngẫu nhiên rời rạc \(S\) (làm trong kết quả đề hàng phần trăm).
c) Chứng minh rằng số lần xét nghiệm trung bình cho 120 mẫu máu đó theo cách ghép nhóm trên là hơn 48.
Trong các biến ngẫu nhiên rời rạc sau, biến ngẫu nhiên rời rạc nào có phân bố Bernoulli? Xác định giá trị của tham số \(p\) và tính độ lệch chuẩn của các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Bernoulli đó.
a) \(X\) là số mặt 6 chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất.
b) Gieo 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biến ngẫu nhiên rời rạc \(Y\) nhận giá trị bằng 1 nếu xuất hiện mặt 6 chấm, bằng 0 nếu không xuất hiện mặt nào 6 chấm.
c) Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất, gọi \(Z\) là số dư khi chia số chấm xuất hiện cho 2.
d) Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất, gọi \(T\) là số dư khi chia số chấm xuất hiện cho 3.
Thuyền trưởng Vinh gửi một tín hiệu vô tuyến từ thuyền đến trạm điều khiển. Xác suất để trạm điều khiển thu được tín hiệu vô tuyến là 0,8. Gọi \(X\) là số tín hiệu vô tuyến của thuyền trưởng Vinh được thu bởi trạm điều khiển. Hãy tính kì vọng và phương sai của \(X\).
Tỉ lệ người lao động có bằng đại học ở một khu công nghiệp là 30%. Tiến hành phỏng vấn lần lượt 10 người lao động được lựa chọn ngẫu nhiên một cách độc lập từ khu công nghiệp đó. Tính xác suất của các biến cố sau:
\(A\): “Có đúng 3 trong 10 người được phỏng vấn có bằng đại học”.
\(B\): “Có ít nhất 1 trong 10 người được phỏng vấn có bằng đại học”.
