Cho tam giác \(ABC\) có : \(AB = AC\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\).

a) Chứng minh \(AM\) là tia phân giác của góc \(BAC\).

b) Chứng minh \(AM \bot BC\).

c) Qua \(C\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(AB\) cắt tia \(AM\) tại \(N\). Chứng minh \(M\) là trung điểm của \(AN\).

 

a) Xét tam giác \(ABM\) và tam giác \(ACM\), ta có:

\(AB = AC\) (giả thiết)

\(BM = MC\)(\(M\) là trung điểm của \(BC\))

            \(AM\) là cạnh chung

    Suy ra \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (c.c.c)

    \( \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {A_2}\) (hai góc tương ứng) hay \(AM\) là tia phân giác của \(\angle BAC\)

    \( \Rightarrow \angle {M_1} = {M_2}\) (hai góc tương ứng).

b)  Mà  \(\angle {M_1} + \angle {M_2} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\angle {M_1} = \angle {M_2} = 90^\circ \).

Suy ra \(AM \bot BC\).

c) \({\rm{Ta}}\) có \(CN{\rm{ // }}AB\) nên \(\angle {B_1} = \angle {C_1}\) (hai góc so le trong).

Xét \(\Delta ABM\) và \(NCM\), ta có:

\(\angle {M_1} = {M_2}\) (hai góc đối đỉnh)

\(MB = MC\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))

 \(\angle {B_1} = \angle {C_1}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\Delta ABM = \Delta NCM\) (g.c.g) \( \Rightarrow AM = MN\) (hai cạnh tương ứng).

Suy ra \(M\) là trung điểm của \(AN\).