Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(F\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\), đường thẳng \(\Delta :y + \frac{1}{2} = 0\) và điểm \(M(x;y)\). Để tìm hệ thức giữa x và y sao cho \(M\) cách đều F và \(\Delta \), một học sinh đã làm như sau:
+) Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M trên \(\Delta \)):
\(MF = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)}^2}} ,MH = d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {y + \frac{1}{2}} \right|\)
+) Điều kiện để M cách đều F và \(\Delta \):
\(\begin{array}{l}MF = d\left( {M,\Delta } \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \left| {y + \frac{1}{2}} \right|\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 2y \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}{x^2}\left( * \right)\end{array}\)
Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.
Đồ thị của hàm số (*) vừa tìm được có dạng là hàm số bậc 2 khuyết b và c tập hợp các điểm cách đều nhau qua một đường thẳng, đồ thị của hàm bậc 2 này có tên gọi là parabol.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho parabol (P): \(y = \frac{1}{4}{x^2}\). Xét F(0; 1) và đường thẳng\(\Delta :{\rm{ }}y{\rm{ }} + 1 = 0\) . Với điểm M(x;y) bất kì, chứng minh rằng \(MF{\rm{ }} = \;d\left( {M,\Delta } \right) \Leftrightarrow \) M(xy) thuộc (P).
Cho parabol có phương trình \({y^2} = 8x\). Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.
Lấy đường thẳng \(\Delta \) và một điểm F không thuộc \(\Delta \). Lấy một ê ke ABC (vuông ở A) và một đoạn dây không đàn hồi, có độ dài bằng AB. Đính một đầu dây vào điểm F, đầu kia vào đỉnh B của ê ke. Đặt ê ke sao cho cạnh AC nằm trên \(\Delta \), lấy đầu bút chì (kí hiệu là điểm M) ép sát sợi dây vào cạnh AB và giữ căng sợi dây. Lúc này, sợi dây chính là đường gấp khúc BMF. Cho cạnh AC của ê ke trượt trên \(\Delta \) (Hình 55). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường parabol. Khi M thay đổi, có nhận xét gì về khoảng cách từ M đến F và khoảng cách từ M đến đường thẳng \(\Delta \)?
