Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {3x + 2} \right)^5}\).

Tính:

a) \(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4\)

b)\(C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5\)

Khai triển biểu thức: \({\left( {2 - 3y} \right)^4}\).

Khai triển biểu thức \({\left( {2 + x} \right)^4}\).

Khai triển các biểu thức sau:

a) \({\left( {2x + 1} \right)^4}\) 

b)\({\left( {3y - 4} \right)^4}\)          

c)\({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^4}\)   

d)\({\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^4}\)

Khai triển các biểu thức sau:

a) \({\left( {x + 1} \right)^5}\)   

b) \({\left( {x - 3y} \right)^5}\)

Cho \({\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + {a_4}{x^4} + {a_5}{x^5}\) . Tính:

a) \({a_3}\)

b) \({a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5}\)

Khai triển các biểu thức sau:

a) \({\left( {4y - 1} \right)^4}\) 

b) \({\left( {3x + 4y} \right)^5}\)

Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong các số vé đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng:

a) \(C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81\).

b) \(C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1\).

Khai triển các biểu thức sau

a) \({\left( {x - 2} \right)^4}\).

b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\).

a) Xét công thức khai triển \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\).

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên.

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

iii) Tính giá trị của \(C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3\) (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của  \({\left( {a + b} \right)^4}\).

\({\left( {a + b} \right)^4} = \left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^3} = ? = ?{a^4} + ?{a^3}b + ?{a^2}{b^2} + ?a{b^3} + ?{b^4}\).

Tính giá trị của \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\) để viết lại công thức khai triển trên.

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^5}\). Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Ở trung học cơ sở, ta đã quen thuộc với các công thức khai triển:

\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\); \({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\).

Với số tự nhiên n > 3 thì công thức khai triển biểu thức \({(a + b)^n}\) sẽ như thế nào?

Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) \({\left( {3x + y} \right)^4}\)

b) \({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}\)

Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4}\)

b) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4}\)

c) \({\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^5}\)

Tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {3x - 2} \right)^5}\).

Chứng minh rằng \(C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5 = 0\).

Khai triển các biểu thức:

a) \({\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^4}\)

b) \({\left( {2{x^2} + 1} \right)^5}\)

Hãy khai triển và rút gọn biểu thức:

\({\left( {1 + x} \right)^4} + {\left( {1 - x} \right)^4}\).

Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng biểu thức \(1,{05^4} + 0,{95^4}\).

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của \({(1 + 0,05)^4}\) để tính giá trị gần đúng của \(1,{05^4}\).

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của \(1,{05^4}\) và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Khai triển \({(3x - 2)^5}\).

Khai triển \({(x - 2)^4}\).

Khai triển các đa thức:

a) \({(x - 3)^4}\)

b) \({(3x - 2y)^4}\)

c) \({(x + 5)^4} + {(x - 5)^4}\)

d) \({(x - 2y)^5}\)

Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển của \({(3x - 1)^5}\).

Biểu diễn \({(3 + \sqrt 2 )^5} - {(3 - \sqrt 2 )^5}\) dưới dạng \(a + b\sqrt 2 \) với a, b là các số nguyên.

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của \({(1 + 0,02)^5}\) để tính giá trị gần đúng của \(1,{02^5}\).

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của \(1,{02^5}\) và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r%

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

b) Với \(r = 1,5\% \), dùng hai số hạng đầu trong khai triển của \({(1 + 0,015)^5},\) hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển nhị thức \({(3x - 4)^5}\) là

A. 1620

B. 60

C. -60

D. -1620

Trong khai triển nhị thức Newton của\({(2x + 3)^5}\), hệ số của \({x^4}\) hay hệ số của \({x^3}\) lớn hơn?

Trongg khai triển nhị thức Newton của \({(2 + 3x)^4}\), hệ số của \({x^2}\) là:

A. 9

B. \(C_4^2\)

C. \(9C_4^2\)

D. \(36C_4^2\)

Viết khai triển nhị thức Newton của \({(2x - 1)^n}\), biết n là số tự nhiên thỏa mãn \(A_n^2 + 24C_n^1 = 140\).