Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) với \(O\) là tâm của đáy và có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Xác định và tính góc phẳng nhị diện:
a) \(\left[ {S,BC,O} \right]\);
b) \(\left[ {C,SO,B} \right]\).
‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,d,B} \right]\): Dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(d\), gọi \(a,a'\) lần lượt là giao tuyến của \(\left( P \right)\) với hai nửa mặt phẳng chứa \(A,B\), khi đó \(\left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a'} \right)\).
a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\).
\(\Delta SBC\) đều \( \Rightarrow SH \bot BC\)
\(\Delta OBC\) vuông cân tại \(O \Rightarrow OH \bot BC\)
Vậy \(\widehat {SHO}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,O} \right]\).
Ta có: \(O\) là trung điểm của \(BD\)
\(H\) là trung điểm của \(BC\)
\( \Rightarrow OH\) là đường trung bình của \(\Delta BC{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow OH = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}\)
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(\Delta SOH\) vuông tại \(O\) có: \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(\tan \widehat {SHO} = \frac{{SO}}{{OH}} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {SHO} \approx 54,{7^ \circ }\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OB\\SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OC\end{array}\)
Vậy \(\widehat {BOC}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {C,SO,B} \right]\).
\(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông \( \Rightarrow \widehat {BOC} = {90^ \circ }\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng d; khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm.
Cho hình chóp S.ABC có SA \( \bot \) (ABC), AB = AC = a, \(\widehat {BAC} = {120^0},SA = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}.\) Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng \(\widehat {SMA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].
b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt {\frac{5}{{12}}} .\) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].
Cho hình chóp S.ABC có SA \( \bot \) (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC.
a) Chứng minh rằng (SAB) \( \bot \) (ABC) và (SAH) \( \bot \) (SBC).
b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat {ABC} = {30^0},AC = a,SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Số đo của góc nhị diện [S, AB, C] bằng \(\widehat {SBC}\).
B. Số đo của góc nhị diện [D, SA, B] bằng \({90^0}\).
C. Số đo của góc nhị diện [S, AC, B] bằng \({90^0}\).
D. Số đo của góc nhị diện [D, SA, B] bằng \(\widehat {BSD}\).
Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao 98 m và cạnh đáy 180 m. Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.
(Nguồn: https://en.wikipedia.org/wiki/Memphis Pyramid)
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Vẽ hình bình hành \(BCED\).
a) Tìm góc giữa đường thẳng \(AB\) và \(\left( {BCD} \right)\).
b) Tim góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,CD,B} \right];\left[ {A,CD,E} \right]\).
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(O\) là tâm của đáy và có tất cả các cạnh bằng nhau.
a) Tìm góc giữa đường thẳng \(SA\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
b) Tim góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SO,B} \right];\left[ {S,AB,O} \right]\).
Cho hình chóp cụt lục giác đều \(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\) với \(O\) và \(O'\) là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là \(a\) và \(\frac{a}{2},OO' = a\)
a) Tìm góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
b) Tìm góc phẳng nhị diện \(\left[ {O,AB,A'} \right];\left[ {O',A'B',A} \right]\).
Một con dốc có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với kích thước như trong Hình 9.
a) Tính số đo góc giữa đường thẳng \(CA'\) và (CC'B'B).
b) Tính số đo góc nhị diện cạnh \(CC'\).
Người ta định đào một cái hầm có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có hai cạnh đáy là 14 m và 10 m. Mặt bên tạo với đáy nhỏ thành một góc nhị diện có số đo bằng 135°. Tính số mét khối đất cần phải di chuyển ra khỏi hầm.
Cho chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với \(AB = 4a,\) \(AD = 3a\). Các cạnh bên đều có độ dài \(5a\). Góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) có số đo là
A. \({75^ \circ }46'\).
B. \({71^ \circ }21'\).
C. \({68^ \circ }31'\).
D. \({65^ \circ }12'\).
Trong không gian cho hai mặt phẳng \((\alpha), (\beta)\) cắt nhau theo giao tuyến d. Hai mặt phẳng \((\alpha), (\beta)\) tạo nên bao nhiêu góc nhị diện có cạnh của góc nhị diện là đường thẳng d?
Quan sát hình ảnh một quyển sổ được mở ra (Hình 35), mỗi trang sổ gợi nên hình ảnh của một nửa mặt phẳng. Nêu đặc điểm của hai nửa mặt phẳng đó.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tính số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện:
a) \(\left[ {B,SA,D} \right]\);
b) \(\left[ {B,SA,C} \right]\).
Cho góc nhị diện có hai mặt là hai nửa mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) và cạnh của góc nhị diện là đường thẳng \(d\).
Qua một điểm \(O\) trên đường thẳng \(d\), ta kẻ hai tia \(Ox,Oy\) lần lượt thuộc hai nửa mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) và cùng vuông góc với đường thẳng \(d\). Góc \(xOy\) gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho (Hình 38).
Giả sử góc \(x'Oy'\) cũng là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho với \(O'\) khác \(O\) (Hình 39).
Hãy so sánh số đo của hai góc \(xOy\) và \(x'Oy'\).
\(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và \(AC = a\).
a) Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\).
b) Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,D} \right]\).
c) Biết \(SA = a\), tính số đo của góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Trong Hình 42, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của màn hình máy tính. Tính độ mở của màn hình máy tính theo đơn vị độ, biết tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh là \(AB = AC = 30{\rm{ }}cm\) và \(BC = 30\sqrt 3 {\rm{ }}cm\).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.
a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
b) Tính côsin của số đo góc nhị diện \(\left[ {A',BD,C'} \right]\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a, biết \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Tính côsin của số đo góc nhị diện \(\left[ {S,BD,C} \right]\) và góc nhị diện \(\left[ {B,SC,D} \right]\).
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(\frac{{a\sqrt {15} }}{6}\). Tính số đo góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).
Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat {ABC} \) \( = {30^0}\), \(AC \) \( = a,SA \) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Tính số đo góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(I\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(BC\), \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SI\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(\beta \) là số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. \(\alpha = {90^o} - \beta \)
B. \(\alpha = {180^o} - \beta \)
C. \(\alpha = {90^o} + \beta \)
D. \(\alpha = \beta \)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(AB \bot BC\), \(SA = AB = 3a\), \(BC = 4a\). Gọi \(\alpha \), \(\beta \), \(\gamma \) lần lượt là số đo của các góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\), \(\left[ {A,BC,S} \right]\), \(\left[ {A,SC,B} \right]\). Tính
a) \(\cos \alpha \), \(\cos \beta \).
b*) \(\cos \gamma \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông, \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Tất cả các cạnh của hình chóp bằng \(a\).
a) Tính góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
b) Gọi \(\alpha \) là số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\). Tính \(\cos \alpha \).
c) Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\), \(\beta \) là số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,d,D} \right]\). Tính \(\cos \beta \).
d*) Gọi \(\gamma \) là số đo góc nhị diện \(\left[ {B,SC,D} \right]\). Tính \(\cos \gamma \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(AC = a\), \(SA = \frac{a}{2}\). Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\). Gọi \(\alpha \), \(\beta \) lần lượt là số đo của các góc nhị diện \(\left[ {A,SO,B} \right]\) và \(\left[ {B,SO,C} \right]\). Tính \(\alpha + \beta \).
Mệnh đề nào sau đây đúng?
