Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng aa và có OO là giao điểm hai đường chéo của đáy.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ACACSBSB.

b) Tinh thể tích của khối chóp.

Phương pháp giải

‒ Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.

Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.

‒ Công thức tính thể tích khối chóp: V=13ShV=13Sh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

 

a) Kẻ OHSB(HSB)OHSB(HSB)

S.ABCDS.ABCD là chóp tứ giác đều SO(ABCD)SOACSO(ABCD)SOAC

ABCDABCD là hình vuông ACBDACBD

AC(SBD)ACOHAC(SBD)ACOH

OHSBOHSB

d(AC,SB)=OHd(AC,SB)=OH

BD=AB2+AD2=a2BO=12BD=a22BD=AB2+AD2=a2BO=12BD=a22

ΔSBOΔSBO vuông tại OSO=SB2BO2=a22OSO=SB2BO2=a22

ΔSBOΔSBO vuông cân tại OO có đường cao OHOH

d(AC,SB)=OH=12SB=a2d(AC,SB)=OH=12SB=a2

b) SABCD=AB2=a2SABCD=AB2=a2

VS.ABCD=13SABCD.SO=a326VS.ABCD=13SABCD.SO=a326

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

b) Chứng minh rằng (ACC′A′) (BDD′B′).

c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng ^COCˆCOC là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C']. Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C, BD, C'], [A, BD, C'].

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D'.

a) Chứng minh rằng (BDD′B′) (ABCD).

b) Xác định hình chiếu của AC′ trên mặt phẳng (ABCD).

c) Cho AB = a, BC = b, CC′ = c. Tính AC′.

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC) và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.

b) Xác định các giao điểm E, F của DB' với (D'AC), (BC'A'). Tính d((D'AC), (BC'A')).

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Cho các phát biểu sau:

(1) Hai mặt phẳng (P)(P)(Q)(Q) có giao tuyến là đường thẳng a và cùng vuông góc với mặt phẳng (R)(R) thì a(R)a(R).

(2) Hai mặt phẳng (P)(P)(Q)(Q) vuông góc với nhau và có giao tuyến là đường thẳng a, một đường thẳng bb nằm trong mặt phẳng (P)(P) và vuông góc với đường thẳng aa thì b(Q)b(Q).

(3) Mặt phẳng (P)(P) chứa đường thẳng a và a vuông góc với (Q)(Q) thì (P)(Q)(P)(Q).

(4) Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P)(P) và mặt phẳng (P)(P) vuông góc với mặt phẳng (Q) thì a(Q)a(Q).

Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là:

A. 1.                              

B. 2.                              

C. 3.                              

D. 4.

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại AA, tam giác BCD cân tại DD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng BC(AID)BC(AID).

b) Kẻ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH(BCD)AH(BCD).

c) Kẻ đường cao IJ của tam giác AID. Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,BC=B,BC= a và ^CAB=300ˆCAB=300. Biết SA(ABC)SA(ABC)SA=a2SA=a2.

a) Chứng minh rằng (SBC)(SAB)(SBC)(SAB).

b) Tính theo a khoảng cách từ điểm AA đến đường thẳng SC và khoảng cách từ điểm AA đến mặt phẳng (SBC)(SBC).

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại SS(SAD)(ABCD)(SAD)(ABCD).

a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Cho hình hộp ABCD.ABCDABCD.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a,AA(ABCD)a,AA(ABCD)^BAD=600ˆBAD=600.

a) Tính thể tích của khối hộp ABCD.ABCDABCD.ABCD.

b) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (ABD)(ABD).

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Cho hai tam giác cân ABCABCABDABD có đáy chung ABAB và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng ABCDABCD.

b) Xác định đoạn vuông góc chung của ABABCDCD.

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Cho hình vuông ABCDABCD và tam giác đều SABSAB cạnh aa nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi M,NM,N lần lượt là trung điểm của ABABADAD.

a) Chứng minh rằng (SMD)(SNC)(SMD)(SNC).

b) Tính khoảng cách từ MM đến mặt phẳng (SNC)(SNC).

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình thang vuông tại AADD; AB=AD=2a;CD=aAB=AD=2a;CD=a; số đo góc nhị diện [S,BC,A][S,BC,A] bằng 6060. Gọi II là trung điểm của cạnh ADAD. Biết hai mặt phẳng (SBI)(SBI)(SCD)(SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD)(ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCDS.ABCD theo aa.

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a2a, cạnh đáy nhỏ bằng aa, chiều cao h=2ah=2a và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng a2a2.

a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

b) Tính thể tích chân cột nói trên theo aa.

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Cho tứ diện OABC có OA=OB=OC=a,^AOB=^AOC=600OA=OB=OC=a,ˆAOB=ˆAOC=600^BOC=900ˆBOC=900.

a) Chứng minh rằng (OBC)(ABC).

b) Tính theo a khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) và thể tích khối tứ diện OABC.

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA(ABCD)SA=a2. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC, cắt các cạnh SC, SB, SD lần lượt tại M, E, F.

a) Chứng minh rằng AE(SBC).

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và hình chóp S.AEMF.

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ^BAD=600. Biết SA(ABCD)SA=a.

a) Chứng minh rằng BDSC.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD=a,AB=a2. Biết SA(ABCD)SA=a3. Gọi M là trung điểm của cạnh CD.

a) Chứng minh rằng BD(SAM).

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMD.

Xem lời giải >>
Bài 18 :

Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a.

a) Chứng minh rằng các tam giác ASCBSD là tam giác vuông cân.

b) Gọi O là giao điểm của ACBD, chứng minh rằng đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45.

Xem lời giải >>
Bài 19 :

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACCA)(BDDB) vuông góc với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ABCD.

Xem lời giải >>
Bài 20 :

Cho hình lập phương MNPQ.MNPQ có cạnh bằng a.

a) Góc giữa hai đường thẳng MNMP bằng:

A. 30.                 

B. 45.                 

C. 60.                  

D. 90.

b) Gọi α là số đo góc giữa đường thẳng MP và mặt phẳng (MNPQ). Giá trị tanα bằng:

A. 1.                                            

B. 2.                                            

C. 2.                         

D. 12.

c) Số đo của góc nhị diện [N,MM,P] bằng:

A. 30.                 

B. 45.                 

C. 60.                  

D. 90.

d) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (NQQN) bằng:

A. a.                                    

B. a2.  

C. a2.                      

D. a2.

Xem lời giải >>
Bài 21 :

Cho hình chóp S.ABCSA(ABC),ACBC,SA=BC=a3,AC=a (Hình 99).

a) Tính góc giữa hai đường thẳng SABC.

b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC).

c) Tính số đo của góc nhị diện [B,SA,C].

d) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SABC.

g) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Xem lời giải >>
Bài 22 :

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AB (Hình 100).

a) Tính góc giữa hai đường thẳng ABBC.

b) Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (ABC).

c) Tính số đo của góc nhị diện [B,CC,M].

d) Chứng minh rằng CC(ABBA). Tính khoảng cách giữa đường thẳng CC và mặt phẳng (ABBA).

e) Chứng minh rằng CM(ABBA). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CCAM.

g) Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.ABC và thể tích khối chóp A.MBC.

Xem lời giải >>
Bài 23 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và AB.

a) Tính côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD).

b) Chứng minh rằng (SMD)(SHC).

Xem lời giải >>
Bài 24 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi M là trung điểm của AA’. Tỷ số của thể tích khối chóp M.ABCD và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng

A. 13.

B. 12.

C. 16.

D. 23.

Xem lời giải >>
Bài 25 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và SC=a2. Gọi H là trung điểm cạnh AB.

a) Chứng minh rằng SH(ABCD).

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

c) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).

Xem lời giải >>
Bài 26 :

Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA=a2.

a) Chứng minh rằng(SAC)(SBD)(SAD)(SCD).

b) Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng minh (ACF)(SBC)(AEF)(SAC).

c) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Xem lời giải >>
Bài 27 :

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA=a52. Gọi SM, SN lần lượt là đường cao của tam giác SAD và tam giác SBC.

a) Chứng minh rằng (SMN)(ABCD).

b) Tính số đo của góc nhị diện [S,AD,B].

c) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Xem lời giải >>
Bài 28 :

Cho hình lăng trụ đứng ABCABC^BAC=60,AB=2a,AC=3a và số đo của góc nhị diện [A,BC,A] bằng 45.

a) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (ABC).

b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.ABC.

Xem lời giải >>
Bài 29 :

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD.

a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt AMN.A'B'D'.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và A'B.

Xem lời giải >>
Bài 30 :

Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’ có đường cao HH=2a. Cho biết AB=2a,AB=a. Gọi B1,C1 lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính thể tích của:

a) Khối chóp cụt đều ABC.A’B’C’.

b) Khối lăng trụ AB1C1.ABC.

Xem lời giải >>