Cho tam giác \(ABC\) có đường trung tuyến \(AM\). Đường phân giác của góc \(AMB\) cắt \(AB\) tại \(D\) và đường phân giác góc \(AMC\) cắt \(AC\) tại \(E\) (Hình 8). Chứng minh \(DE//BC\).
- Sử dụng Tính chất đường phân giác trong tam giác:
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề đoạn ấy.
- Định lí Thales đảo:
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và vạch ra trên đó các đoạn thẳng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Vì \(MD\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AMB}\) nên \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AM}}{{BM}}\) (1)
Vì \(ME\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AMC}\) nên \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AM}}{{MC}}\)(2);
Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = MC\) (3)
Từ (1); (2); (3) \( \Rightarrow \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)
Xét tam giác \(ABC\) có: \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)
Do đó, \(DE//BC\)(Định lí Thales đảo).
Các bài tập cùng chuyên đề
Nhà bạn Mai ở vị trí M, nhà bạn Dung ở vị trí D (Hình 4.25), biết rằng tứ giác ABCD là hình vuông và M là trung điểm của AB. Hai bạn đi bộ với cùng một vận tốc trên con đường MD để đến điểm I. Bạn Mai xuất phát lúc 7h. Hỏi bạn Dung xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Mai lúc 7h30 tại điểm I?
Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D.
a) Tính độ dài đoạn thẳng DB và DC.
b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.
Nhà bạn Mai ở vị trí M, nhà bạn Dung ở vị trí D (H.4.23), biết rằng tứ giác ABCD là hình vuông và M là trung điểm của AB. Hai bạn đi bộ với cùng một vận tốc trên con đường MD để đến điểm I. Bạn Mai xuất phát lúc 7h. Hỏi bạn Dung xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Mai lúc 7h30 tại điểm I?
Cho tam giác ABC, trung tuyến AI. Tia phân giác góc AIB cắt AB tại M và tia phân giác góc AIC cắt AC tại N. Chứng minh rằng: MN // BC.
Tam giác \(ABC\) có \(AB = 15cm,AC = 20cm,BC = 25cm\). Đường phân giác của góc \(BAC\)cắt \(BC\) tại \(D\). Qua \(D\) vẽ \(DE//AB\left( {E \in AC} \right)\).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(BD,DC\) và \(DE\).
b) Chứng minh \(ABC\) là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác \(ABC\).
c) Tính diện tích tam giác \(ADB,ADE\) và \(DCE\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 3cm,AC = 4cm.\) Đường phân giác của góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D\).
a) Tính \(BC,BD,DC\).
b) Vẽ đường cao \(AH\). Tính \(AH,HD\) và \(AD\).
