Tính khoảng cách từ điểm \(A(2;4; - 3)\) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) \((\alpha ):2x - 2y + z - 9 = 0\)
b) \((\beta ):12y - 5z + 5 = 0\)
c) \((Oxy):z = 0\)
Khoảng cách từ một điểm \(A({x_0},{y_0},{z_0})\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) được tính theo công thức:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Trong đó:
- \(({x_0},{y_0},{z_0})\) là tọa độ của điểm cần tính khoảng cách.
- A, B, C là hệ số trong phương trình mặt phẳng.
a) Tính khoảng cách từ \(A(2,4, - 3)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x - 2y + z - 9 = 0\).
\({d_\alpha } = \frac{{|2(2) - 2(4) + ( - 3) - 9|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{|4 - 8 - 3 - 9|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{| - 16|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{16}}{3}\)
Vậy khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\frac{{16}}{3}\).
b) Tính khoảng cách từ \(A(2,4, - 3)\) đến mặt phẳng \((\beta ):12y - 5z + 5 = 0\).
\({d_\beta } = \frac{{|12(4) - 5( - 3) + 5|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{( - 5)}^2}} }} = \frac{{|48 + 15 + 5|}}{{\sqrt {144 + 25} }} = \frac{{68}}{{\sqrt {169} }} = \frac{{68}}{{13}}\)
Vậy khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((\beta )\) là \(\frac{{68}}{{13}}\).
c) Tính khoảng cách từ \(A(2,4, - 3)\) đến mặt phẳng \((Oxy):z = 0\).
\({d_{Oxy}} = \frac{{|1 \cdot ( - 3) + 0|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{| - 3|}}{1} = 3\)
Vậy khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((Oxy)\) là \(3\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Góc quan sát ngang của một camera là \({115^0}\). Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z + 3 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0\)
Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) là vecto pháp tuyến. Cho điểm \({M_0}(2;3;4)\). Gọi \(H({x_H};{y_H};{z_H})\) là hình chiếu vuông góc của điểm \({M_0}\) trên mặt phẳng (P) (Hình 16)
a) Tính tọa độ của \(\overrightarrow {H{M_0}} \) theo \({x_H},{y_H},{z_H}\)
b) Nêu nhận xét về phương của hai vecto \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {H{M_0}} \). Từ đó, hãy suy ra rằng \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|\)
c) Tính các độ dài \(\left| {\overrightarrow n } \right|\), \(\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right|\) theo A, B, C, D. Từ đó, hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm \({M_0}(2;3;4)\) đến mặt phẳng (P)
Khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến mặt phẳng \(x - a - b - c = 0\) là:
A. \(\left| {a + b} \right|\).
B. \(\left| {b + c} \right|\).
C. \(\left| {c + a} \right|\).
D. \(\frac{{\left| {b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).
a) Tính chiều cao của hình chóp \(O.MNP\) với toạ độ các đỉnh \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(M\left( {2;1;2} \right)\), \(N\left( {3;3;3} \right)\), \(P\left( {4;5;6} \right)\).
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(\left( R \right):8x + 6y + 70 = 0\) và \(\left( S \right):16x + 12y - 2 = 0\)
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 \), chiều cao bằng \(2a\) và \(O\) là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình dưới đây, tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Tính khoảng cách từ gốc toạ độ và từ điểm \(M\left( {1; - 2;13} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 3 = 0.\)
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(\left( P \right):x - 2 = 0\) và \(\left( Q \right):x - 8 = 0.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = 2a\), \(AD = 5a\), \(SA = 3a\). Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình dưới đây, tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right).\)
Cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 4y + 2z + 4 = 0\) và điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\). Khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( P \right)\) bằng
A. \(\frac{5}{{\sqrt {29} }}\)
B. \(\frac{5}{{29}}\)
C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
D. \(\frac{5}{9}\)
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) bằng:
A. \(\left| {{x_0}} \right|\).
B. \(\left| {{y_0}} \right|\).
C. \(\left| {{z_0}} \right|\).
D. \(\left| {{x_0} + {y_0} + {z_0}} \right|\).
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):ay + bz + c = 0\) bằng:
A. \(\frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
B. \(\frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).
C. \(\frac{{\left| {a{y_0} + b{z_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).
D. \(\frac{{\left| {a{y_0} + b{z_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến các mặt phẳng \(x - a = 0,y - b = 0,\)\(z - c = 0\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 2a,AD = 3a,AA' = 4a\left( {a > 0} \right)\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là các điểm thuộc các tia \(AB,AD,AA'\) sao cho \(AM = a,AN = 2a,AP = 3a\). Tính khoảng cách từ điểm \(C'\) đến mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).
Cho \(a + b + c \ne 0\).
Khoảng cách từ gốc toạ độ \(O\) đến mặt phẳng \(x + a + b + c = 0\) bằng:
A. \(\left| {a + b + c} \right|\).
B. \(\frac{{\left| {a + b + c} \right|}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\).
C. \(\frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{{\left| {a + b + c} \right|}}\).
D. \(\frac{{\left| {a + b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 2;1;0} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - 3 = 0\) bằng
A. 2.
B. 6.
C. 3.
D. 9.
Tính khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) đến các mặt phẳng sau:
a) \(\left( P \right):3x + 4z + 10 = 0\);
b) \(\left( Q \right):2x - 10 = 0\);
c) \(\left( R \right):2x + 2y + z - 3 = 0\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(DA = 2,DC = 3,DD = 2\).
Tính khoảng cách từ đỉnh \(B'\) đến mặt phẳng \(\left( {BA'C'} \right)\).
Cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z + 10 = 0\) và điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\). Khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( P \right)\) bằng
A. 5.
B. \(\frac{{15}}{9}\).
C. \(\frac{{\sqrt {15} }}{3}\).
D. \(\frac{{\sqrt {15} }}{9}\).
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách:
a) Từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x - 2y + z - 5 = 0\);
b) Giữa hai mặt phẳng \((\alpha ):y - 4 = 0\) và \((\beta ):y + 5 = 0\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 4 = 0. Khoảng cách từ điểm M(3;1;-2) đến mặt phẳng (P) bằng
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(1;2;-3) đến mặt phẳng (Oxy) là
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 9 = 0 và (Q): 4x – 2y – 4z – 6 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là
Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng thuộc mặt phẳng (P): 3x + 4y + 5z – 6 = 0 và trần của căn phòng đó thuộc mặt phẳng (Q): 3x + 4y + 5z + 9 = 0. Hỏi chiếc tủ có chiều cao nào dưới đây không kê vừa trong căn phòng đó?
Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimet) vào một ngôi nhà 1 tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục Oz lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Biết rằng các vị trí A(2;4;25), B(5;7;27) lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao nhiêu decimet?
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {2; - 1; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z = 0\).
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
A. 3.
B. 6.
C. \(\frac{2}{3}\).
D. \(\frac{1}{3}\).
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(-2;1;2) đến mặt phẳng \((\alpha )\): x – 5y + 2z – 7 = 0 là
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(1;4;-7) đến (P): 2x – y + 2z + 7 = 0 làs
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(4;1;5) đến (P): 5x – 10y + 10z – 5 = 0 bằng
