Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(2.\) Điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(AM = \frac{{AC}}{4}\). Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC.\) Tính \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} .\)

A. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN}  =  - 4.\)

B. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN}  = 0.\)

C. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN}  = 4.\)

D. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN}  = 16.\)

Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ  \(\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {MN} \) theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.

\(\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC}  - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\)

        \(\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} \).

     \(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN}  = \left( {\frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{{16}}\left( {3\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{{16}}\left( {3A{B^2} + 8\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - 3A{D^2}} \right)\\ = \frac{1}{{16}}\left( {3{a^2} + 8.0 - 3{a^2}} \right) = 0\end{array}\)

Chọn B