Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;9), B(6;1;0) và C(0;0;1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm G.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( {2;9; - 1} \right),B\left( {9;4;5} \right)$ và $G\left( {3;0;4} \right)$. Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$ và $C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)$.

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A và B và C.

Trong không gian Oxyz, cho $A\left( {1;0; - 1} \right),B\left( {0; - 1;2} \right)$ và $G\left( {2;1;0} \right)$. Biết tam giác ABC có trọng tâm G. Tọa độ của điểm C là

A. $\left( {5;4; - 1} \right)$.

B. $\left( { - 5; - 4;1} \right)$.

C. $\left( {1;2; - 1} \right)$.

D. $\left( { - 1; - 2;1} \right)$

a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A({x_A};{y_A};{z_A})$ và $B({x_B};{y_B};{z_B})$. Gọi $M({x_M};{y_M};{z_M})$là trung điểm đoạn thẳng AB

• Biểu diễn vecto $\overrightarrow {OM}$ theo hai vecto $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OB}$
• Tính tọa độ của điểm M theo tọa độ của các điểm $A({x_A};{y_A};{z_A})$ và $B({x_B};{y_B};{z_B})$

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G

• Biểu diễn vecto $\overrightarrow {OG}$ theo ba vecto $\overrightarrow {OA}$, $\overrightarrow {OB}$ và $\overrightarrow {OC}$
• Tính tọa độ của điểm G theo tọa độ của các điểm $A({x_A};{y_A};{z_A})$, $B({x_B};{y_B};{z_B})$ và $C({x_C};{y_C};{z_C})$

Cho hai điểm M(1;-2;3) và N(3;4;-5). Trung điểm của đoạn thẳng MN có tọa độ là:

A. (-2;1;1)

B (2;1;1)

C. (-2;1;-1)

D. (2;1;-1)

Cho tam giác MNP có M(0;2;1), N(-1;-2;3) và P(1;3;2). Trọng tâm của tam giác MNP có tọa độ là:

A. (0;1;2)

B. (0;3;6)

C. (0;-3;-6)

D. (0;-1;-2)

Xét hệ tọa độ Oxyz gắn với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ như Hình 39, đơn vị của mỗi trục bằng độ dài cạnh hình lập phương. Biết A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1).

a) Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

b) Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác A’BD

c) Xác định tọa độ các vecto $\overrightarrow {OG}$ và $\overrightarrow {OC'}$. Chứng minh rằng ba điểm O, G, C’ thẳng hàng và $OG = \frac{1}{3}OC$

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, một đội gồm ba drone giao hàng A, B, C đang có toạ độ là A(1; 1; 1), B(5; 7; 9), C(9; 11 ; 4). Tính:

a) Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.

b) Góc $\widehat {BAC}$

Cho tam giác MNP có M(0; 1; 2), N(5; 9; 3), P(7; 8; 2).

a) Tìm toạ độ điểm K là chân đường cao kẻ từ M của tam giác MNP.

b) Tìm độ dài cạnh MN và MP.

c) Tính góc M

Cho hình chóp S.ABC có $SA \bot (ABC)$, SA = a và đáy ABC là tam giác đều cạnh a, O là trung điểm của BC. Bằng cách thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ, hãy tìm toạ độ:

a) Các điểm A, S, B, C

b) Trung điểm M của SB và trung điểm N của SC;

c) Trọng tâm G của tam giác SBC

Cho tam giác MNP có M(2; 1; 3), N(1; 2; 3), P(–3; –1; 0). Tìm toạ độ:

a) Các điểm M′, N′, P′ lần lượt là trung điểm của các cạnh NP, MP, MN;

b) Trọng tâm G của tam giác M′N′P′.

Cho tam giác ABC có $A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B}),C({x_C};{y_C};{z_C})$. Gọi $M({x_M};{y_M};{z_M})$ là trung điểm của đoạn thẳng AB và $G({x_G};{y_G};{z_G})$ là trọng tâm của tam giác ABC. Sử dụng các hệ thức vectơ $\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} )$,$\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} )$, tìm toạ độ của các điểm M và G.

Cho ba điểm A(2; 1; –1), B(3; 2; 0) và C(2; –1; 3).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC.

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Cho điểm M(1; 2; 3). Hãy tìm toạ độ của các điểm:

a) ${M_1},{M_2},{M_3}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).

b) M′, M″, M′′′ lần lượt là điểm đối xứng của M qua O, mặt phẳng (Oxy) và trục Oy.

Cho ba điểm A(3; 3; 3), B(1; 1; 2) và C(5; 3; 1).

a) Tìm điểm M trên trục Oy cách đều hai điểm B, C.

b) Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oxy) cách đều ba điểm A, B, C.

Cho hai điểm A(3; –2; 3) và B(–1; 2; 5). Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

A. I(–2; 2; 1). 

B. I(1; 0; 4). 

C. I(2; 0; 8).

D. I(2; –2; –1)

Cho ba điểm A(1; 3; 5), B(2; 0; 1), C(0; 9; 0). Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A. G(3; 12; 6).

B. G(1; 5; 2).

C. G(1; 0; 5).

D. G(1; 4; 2).

Cho tứ diện $ABCD$. Lấy $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0$

B. $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0$

C. $\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD}  = 3\overrightarrow {CG}$

D. $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG}$.

Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $C\left( { - 2;2;2} \right)$ và trọng tâm $G\left( { - 1;1;2} \right)$. Tìm toạ độ các đỉnh $A,B$ của tam giác $ABC$, biết điểm $A$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ và điểm $B$ thuộc $Oz$.

Cho sáu điểm $A\left( {1;2;3} \right),B\left( {2; - 1;1} \right),C\left( {3;3; - 3} \right)$ và $A',B',C'$ thoả mãn $\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {B'B}  + \overrightarrow {C'C}  = \overrightarrow 0$. Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $A'B'C'$.

Cho ba điểm $A\left( {0;2; - 1} \right),B\left( { - 5;4;2} \right),C\left( { - 1;0;5} \right)$. Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

Cho hai điểm $A\left( {2;2; - 1} \right)$ và $B\left( {4;6; - 3} \right)$. Toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là:

A. $\left( {3;4; - 2} \right)$

B. $\left( {6;8; - 4} \right)$

C. $\left( {1;2; - 1} \right)$

D. $\left( { - 1; - 2;1} \right)$

Cho tam giác $ABC$ có $A\left( {1;3;2} \right),B\left( {2; - 1;1} \right)$ và $C\left( {3;1;0} \right)$. Toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:

A. $\left( {6;3;3} \right)$

B. $\left( {2;1;1} \right)$

C. $\left( {3;\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)$

D. $\left( {2;\frac{5}{3};1} \right)$

Cho hai điểm $M\left( {5;2; - 3} \right)$ và $N\left( {1; - 4;5} \right)$. Trung điểm của đoạn thẳng $MN$ có toạ độ là:

A. $\left( {4;6; - 8} \right)$

B. $\left( {2;3; - 4} \right)$

C. $\left( {6; - 2;2} \right)$

D. $\left( {3; - 1;1} \right)$

Cho tam giác $MNP$ có $M\left( {1; - 2;1} \right),N\left( { - 1; - 2;3} \right)$ và $P\left( {3;1;2} \right)$. Trọng tâm của tam giác $MNP$ có toạ độ là:

A. $\left( {1; - 1;2} \right)$

B. $\left( {3; - 3;6} \right)$

C. $\left( { - 1;1; - 2} \right)$

D. $\left( { - 3;3; - 6} \right)$

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A\left( {1;3; - 3} \right)$, $B\left( {2;0;5} \right)$, $C\left( {6;9; - 5} \right)$ và

$D\left( { - 1; - 4;3} \right)$.

a) Tìm tọa độ trọng tâm $I$ của tam giác $ABC$.

b) Tìm tọa độ của điểm $G$ thuộc đoạn thẳng $DI$ sao cho$DG = 3IG$.

Cho tứ diện $ABCD$. Trọng tâm $G$ của tứ diện là điểm duy nhất thỏa mãn đẳng thức

$\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0$. Chứng minh rằng tọa độ của điểm $G$ được cho bởi công thức:

${x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}.$

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1;3;5} \right)$, $B\left( {0;6; - 2} \right)$, $C\left( {5;3;6} \right)$. Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là

A. $\left( {2;3;4} \right)$

B. $\left( {2;4;3} \right)$

C. $\left( {3;4;2} \right)$

D. $\left( {3;2;4} \right)$

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(1;3; - 5)$, $M\left( {\frac{3}{2};2; - \frac{1}{2}} \right)$, $G\left( {2;\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)$.

a) Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Trong không gian Oxyz, tam giác ABC có $A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)$,  $B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)$, và $C\left( {{x_C},{y_C},{z_C}} \right)$

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A B. Tìm tọa độ điểm M.

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm G.