Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian \(Oxyz\) như Hình 9 nhờ một phần mềm đồ hoạ máy tính.
a) Viết phương trình mặt phẳng mái nhà \(\left( {DEMM} \right)\).
b) Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mái nhà \(\left( {DEMM} \right)\).
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng \(A,B,C\):
Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương, chẳng hạn \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
Bước 2: Tìm một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(A\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \).
‒ Khoảng cách từ điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + C{\rm{z}} + D = 0\):
$d\left( {{M}_{0}};\left( P \right) \right)=\frac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{\text{z}}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$.
a) Ta có: \(\overrightarrow {DE} = \left( {6;0;0} \right),\overrightarrow {DN} = \left( {0;2;2} \right)\).
Khi đó, \(\left[ {\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {DN} } \right] = \left( {0.2 - 0.2;0.0 - 6.2;6.2 - 0.0} \right) = \left( {0; - 12;12} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {DEMM} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {DEMM} \right)\) là:
\(0\left( {x - 0} \right) - 12\left( {y - 0} \right) + 12\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow - 12y + 12{\rm{z}} - 48 = 0 \Leftrightarrow y - z + 4 = 0\).
b) \(OABC.DEFH\) là hình hộp chữ nhật nên \(B\left( {6;4;0} \right)\)
Khoảng cách từ điểm \(B\) đến mái nhà \(\left( {DEMM} \right)\) bằng:
\(d\left( {B,\left( {DEMM} \right)} \right) = \frac{{\left| {4 - 0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 4\sqrt 2 \).
Các bài tập cùng chuyên đề
Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) một lực \(\overrightarrow F \) thì moment lực \(\overrightarrow M \) được tính bởi công thức \(\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]\) (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực \(\overrightarrow F \) có giá song song với AB. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực \(\overrightarrow F \) có phương thẳng đứng?
(H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40cm, 44cm, 48cm.
a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.)
b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Trên bản thiết kế đồ hoạ 3D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian \(Oxyz\), một tấm pin nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):6x + 5y + z + 2 = 0\); một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) và song song với \(\left( P \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m, cách bạn nữ 5 m. Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt đất. Hãy viết phương trình của \(\left( P \right)\) trong không gian \(Oxyz\) được mô tả trong hình vẽ.
Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2z + 1 = 0\) và \(\left( {P'} \right):x + z + 7 = 0\).
a) Tính góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\).
b) Tính góc hợp bởi \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) với mặt đất \(\left( Q \right)\) có phương trình \(z = 0\).
Phần mềm điều khiển máy in 3D cho biết đầu in phun của máy đang đặt tại điểm \(M\left( {3;4;24} \right)\) (đơn vị: cm). Tính khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình \(z - 4 = 0\).
Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y + 2z - 1 = 0\) và trần của căn phòng đó thuộc mặt phẳng \(\left( \beta \right):x + 2y + 2z - 3 = 0\). Hỏi chiều cao của căn phòng có đủ để kê một chiếc tủ có chiều cao bằng 1 hay không?
Trong không gian Oxyz, một xe tải có chiều cao bằng 1, di chuyển trên mặt phẳng (Oxy) và cần chui qua gầm của một cây cầu. Cây cầu đó thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 2t\\z = 2\end{array} \right.\).
Hỏi chiều cao của gầm cầu có đủ để xe tải chui qua hay không?
Trong không gian Oxyz, một người ở trong một căn phòng, mắt người đặt tại vị trí \(A\left( {1;2;3} \right)\), nhìn ra ngoài khu vườn qua một khung cửa sổ có dạng hình tròn tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính 2 và thuộc mặt phẳng (Oyz). Hỏi qua khung cửa sổ, người đó có nhìn thấy bông hoa ở vị trí \(M\left( { - 2;1;1} \right)\) hay không?
Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên các trục toạ độ là centimét), đầu in phun của một máy in 3D đang đặt tại điểm \(M\left( {5;0;35} \right)\). Tính khoảng cách từ đầu in phun đến khay đặt vật in có phương trình \(z - 5 = 0\).
Người ta thiết kế một mái che hình chữ nhật ABCD phía trên sân khấu.
a) Với hệ trục Oxyz (đơn vị trên trục là mét) và các kích thước được cho như Hình 5.16, hãy viết phương trình mặt phẳng chứa mái che.
b) Một cổng chào hình chữ nhật EFHG cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh ngang GE với mái che để gắn hoa và đèn led. Tính độ dài ngắn nhất của mỗi đoạn dây này.
Một phần sân nhà bác An có dạng hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\) với độ dài \(AB = 9{\mkern 1mu} m\), \(AD = 5{\mkern 1mu} m\) và \(BC = 6{\mkern 1mu} m\) như Hình 5.9. Theo thiết kế ban đầu thì mặt sân bằng phẳng và các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) có độ cao như nhau. Sau đó bác An thay đổi thiết kế để nước có thể thoát về phía góc sân ở vị trí \(C\) bằng cách giữ nguyên độ cao ở \(A\), giảm độ cao của sân ở vị trí \(B\) và \(D\) xuống thấp hơn độ cao ở \(A\) lần lượt là \(6{\mkern 1mu} cm\) và \(3,6{\mkern 1mu} cm\). Để mặt sân sau khi lát gạch vẫn là bề mặt phẳng thì bác An cần phải giảm độ cao ở \(C\) xuống bao nhiêu centimet so với độ cao ở \(A\)?
Hình 21 minh hoạt một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt các điểm A(2;1;3), B(4;3;3), C(6;3;2,5), D(4;0;2,8).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Bốn điểm A, B, C, D có đồng phẳng không?
Một phần sân nhà bác An có dạng hình thang ABCD vuông tại A và B với độ dài AB = 9 m, AD = 5 m và BC = 6 m như hình vẽ. Theo thiết kế ban đầu thì mặt sân bằng phẳng và A, B, C, D có độ cao như nhau. Sau đó bác An thay đổi thiết kế để nước có thể thoát về phía góc sân ở vị trí C bằng cách giữ nguyên độ cao ở A, giảm độ cao của sân ở vị trí B và D xuống thấp hơn độ cao ở A lần lượt là 6 cm và 3,6 cm. Để mặt sân sau khi lát gạch vẫn là bề mặt phẳng thì bác An cần phải giảm độ cao ở C xuống bao nhiêu cm so với độ cao ở A (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt OAGD.BCFE có hai đáy song song với nhau. Mặt sân OAGD là hình chữ nhật và được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân OAGD có chiều dài OA = 100 m, chiều rộng OD = 60 m và tọa độ điểm B(10;10;8). Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (OBED) bằng bao nhiêu mét (kết quả viết dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần chục)?
Một sân vận động được xây dựng theo mô hình chóp cụt OAGD.BCFE có hai đáy song song với nhau. Mặt sân OAGD là hình chữ nhật và được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân OAGD có chiều dài OA = 100m, chiều rộng OD = 60m và tọa độ điểm B(10;10;8). Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng (OACB) có dạng ax + by + cz + d = 0. Tính giá trị biểu thức a + c + d.
