Cho tứ diện \(OABC\) có \(G\left( {3; - 3;6} \right)\) là trọng tâm. Tìm toạ độ điểm \(A\) thoả mãn \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;4; - 2} \right)\).
‒ Sử dụng biểu thức toạ độ của phép cộng vectơ:
Nếu \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) thì \(\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {{x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2};{z_1} + {z_2}} \right)\).
‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\).
Giả sử \(A\left( {a;b;c} \right)\).
\(G\) là trọng tâm của tứ diện \(OABC\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{O}}} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {G{\rm{O}}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {G{\rm{O}}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA} = - \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GO} } \right)\end{array}\)
Ta có \(G\left( {3; - 3;6} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} = \left( {3; - 3;6} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {GO} = \left( { - 3;3; - 6} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GO} = \left( {1 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right);2 + 4 + 3;3 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 6} \right)} \right) = \left( { - 3;9; - 5} \right)\)
Do đó \(3\overrightarrow {GA} = \left( {3; - 9;5} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = \left( {1; - 3;\frac{5}{3}} \right)\).
Mặt khác \(\overrightarrow {GA} = \left( {a - 3;b + 3;c - 6} \right)\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 1\\b + 3 = - 3\\c - 6 = \frac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 6\\c = \frac{{23}}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(A\left( {4; - 6;\frac{{23}}{3}} \right)\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong Ví dụ 3, tính \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;1; - 1} \right)\).
a) Xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b \).
b) Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow u \).
c) Tính \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)\) và \(C\left( { - 1;0;2} \right)\).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3;1;2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( { - 3;0;4} \right)\) và \(\overrightarrow c = \left( {6; - 1;0} \right)\)
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \) và \(2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b - 5\overrightarrow c \).
b) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( { - \overrightarrow b } \right)\) và \(\left( {2\overrightarrow a } \right).\overrightarrow c \).
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3;1;2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( { - 3;0;4} \right)\) và \(\overrightarrow c = \left( {6; - 1;0} \right)\)
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \) và \(2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b - 5\overrightarrow c \).
b) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( { - \overrightarrow b } \right)\) và \(\left( {2\overrightarrow a } \right).\overrightarrow c \).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M\left( { - 4;3;3} \right),N\left( {4; - 4;2} \right)\) và \(P\left( {3;6; - 1} \right)\).
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \), từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} \), từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.
c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {0; - 3;1} \right)\) và \(C\left( {4; - 1;4} \right)\).
a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng \(\widehat {BAC} = {90^0}\).
c) Tính \(\widehat {ABC}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-2;3;0), B(4;0;5), C(0;2;-3).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng
b) Tính chu vi tam giác ABC
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
d) Tính \(\cos \widehat {BAC}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;-3), B(0;-4;5) và C(-1;2;0).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thằng hàng
b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
d) Tính chu vi của tam giác ABC
e) Tính \(\cos \widehat {BAC} \)
Cho tứ diện ABCD có BA, BC, BD đôi một vuông góc và BA = BC = BD = 1. Gọi I là trung điểm của AC.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB’. Cos của góc hợp bởi MN và AC’ bằng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính \(a + b\).
Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(1;0;1), B(2;1;2), và D(1;-1;1). Tọa độ điểm C là (a;b;c). Tính tổng a + b + c.
Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a = (2; - 2; - 4)\), \(\overrightarrow b = (1; - 1;1)\).
Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a = (2;1; - 2)\), \(\overrightarrow b = (0; - 1;1)\).
Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow c = (3;4;0)\), \(\overrightarrow b = (1; - 2;2)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(2;4;0), B(4;0;0), C(-1;4;-7) và D’(6;8;10). Tổng hoành độ, tung độ, cao độ của điểm B’ bằng bao nhiêu?
Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a = (2;3;1)\), \(\overrightarrow b = ( - 1;5;2)\), \(\overrightarrow c = (4; - 1;3)\) và \(\overrightarrow x = ( - 3;22;5)\).
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Tính tổng của hoành độ, tung độ, cao độ đỉnh A’.
Trong không gian Oxyz, biết \(\overrightarrow c = (x;y;z)\) vuông góc vối cả hai vecto \(\overrightarrow a = (1;3;4)\), \(\overrightarrow b = ( - 1;2;3)\).
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {5;7; - 4} \right),B\left( {6;8; - 3} \right),C\left( {6;7; - 3} \right),D'\left( {3;0;3} \right)\). Tìm toạ độ các đỉnh \(D\) và \(A'\).
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {2;0;2} \right),B\left( {4;2;4} \right),D\left( {2; - 2;2} \right),C'\left( {8;10; - 10} \right)\). Tìm toạ độ điểm \(A'\).
Cho hình bình hành \(OABD\) có \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 1;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {OB} = \left( {1;1;0} \right)\) với \(O\) là gốc toạ độ. Tìm toạ độ của điểm \(D\).
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {2;4;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),C\left( { - 1;4; - 7} \right)\) và \(D'\left( {6;8;10} \right)\). Tìm toạ độ của điểm \(B'\).
Cho điểm \(A\left( {2;2;1} \right)\). Tính độ dài đoạn thẳng \(OA\).
Cho điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến trục \(Oy\).
Cho điểm \(M\left( {3; - 1;2} \right)\). Tìm:
a) Toạ độ điểm \(M'\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua gốc toạ độ \(O\).
b) Toạ độ điểm \(O'\) là điểm đối xứng của điểm \(O\) qua điểm \(M\).
c) Khoảng cách từ \(M\) đến gốc toạ độ.
d) Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).
Cho điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\). Gọi \(A,B,C\) theo thứ tự là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua các mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right),\left( {Oyz} \right),\left( {Oxz} \right)\). Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Một nhân viên đang sử dụng phần mềm để thiết kế khung của một ngôi nhà trong không gian \(Oxyz\) được minh hoạ như Hình 3. Cho biết \(OABC.DEFH\) là hình hộp chữ nhật và \(EMF.DNH\) là hình lăng trụ đứng.
a) Tìm toạ độ của các điểm \(B,F,H\).
b) Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {ME} ,\overrightarrow {MF} \).
c) Tính số đo \(\widehat {EMF}\).
Cho hai điểm \(A\left( {2;0;1} \right)\) và \(B\left( {0;5; - 1} \right)\). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \) bằng
A. ‒2.
B. ‒1.
C. 1.
D. 2.
Cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right)\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 \).
B. \(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3 \).
C. \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \).
D. \(\overrightarrow c \bot \overrightarrow b \).
