Cho tam giác đều ABC có \(AB = 2\sqrt 3 cm\). Nửa đường tròn đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E (khác B và C). (H.5.24).
a) Chứng tỏ rằng ba cung nhỏ BD, DE và EC bằng nhau. Tính số đo mỗi cung ấy.
b) Tính diện tích của hình viên phân giới hạn bởi dây BD và cung nhỏ BD.
a) Gọi O là trung điểm của BC.
+ Chứng minh CD, BE là đường cao của tam giác đều ABC, từ đó suy ra D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC.
+ Chứng minh các tam giác BOD, DOE, EOC là các tam giác đều, suy ra số đo các góc BOD, DOE, EOC.
+ Ba cung nhỏ $\overset\frown{BD},\overset\frown{DE}$ và $\overset\frown{EC}$ lần lượt bị chắn bởi các góc ở tâm BOD, DOE, EOC nên tính được số đo các cung đó.
b) Diện tích hình viên phân bằng diện tích hình quạt tròn ứng với cung BD trừ đi diện tích tam giác BOD.
(H.5.25)
a) Gọi O là trung điểm của BC. Tam giác DBC có đường trung tuyến DO bằng \(\frac{1}{2}BC\) (bằng một nửa cạnh huyền) nên DBC là tam giác vuông tại D. Vậy CD là đường cao của tam giác đều ABC, suy ra D là trung điểm của AB. Tương tự, E là trung điểm của AC. Từ đó suy ra bốn tam giác BOD, DOE, EOC, ADE là những tam giác đều, với độ dài cạnh bằng một nửa độ dài cạnh của tam giác đều ABC, tức là bằng \(\sqrt 3 cm\).
Ba cung nhỏ $\overset\frown{BD},\overset\frown{DE}$ và $\overset\frown{EC}$ lần lượt bị chắn bởi các góc ở tâm BOD, DOE, EOC, mà có góc này đều bằng 60 độ (các góc của tam giác đều) nên các cung đang xét có số đo bằng nhau và cùng có số đo bằng 60 độ.
b) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung BD là: \({S_q} = \frac{{60}}{{360}}.\pi .{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = \frac{\pi }{2}\left( {c{m^2}} \right)\)
Diện tích của tam giác BOD là: \({S_{BOD}} = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\sin {60^o} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)\)
Diện tích hình viên phân là: \(S = {S_q} - {S_{BOD}} = \frac{\pi }{2} - \frac{{3\sqrt 3 }}{4} = \frac{{2\pi - 3\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho đường tròn $\left( {O,10\,cm} \right)$, đường kính $AB.$. Điểm \(M \in (O)\) sao cho \(\widehat {BAM} = {45^0}\). Tính diện tích hình quạt $AOM$ .
Biết rằng hai hình quạt tròn ứng với hai cung bằng nhau trên một đường tròn thì có diện tích bằng nhau và diện tích quạt tròn tỉ lệ với số đo của cung tương ứng với nó. Hãy thiết lập công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính R với cung \(n^\circ \) bằng cách thực hiện từng bước sau:
a) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung \(1^\circ .\)
b) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung \(n^\circ .\)
Trở lại tình huống mở đầu. Hãy vẽ (tô màu) hình quạt tròn theo hướng dẫn sau:
- Vẽ đường tròn tâm O (với bán kính tùy chọn).
- Hình quạt tròn cần vẽ ứng với cung có số đo bằng 40% của 3600. Tính số đo của cung cần vẽ.
- Vẽ góc ở tâm có số đo tìm được và tô màu hình quạt tròn tương ứng.
Tính diện tích của hình quạt tròn đã vẽ trong Thực hành trên nếu bán kính của nó bằng 4cm.
Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính 4 cm, ứng với cung \(36^\circ .\)
Có hai chiếc bánh pizza hình tròn (H.5.18). Chiếc bánh thứ nhất có đường kính 16 cm được cắt thành 6 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Chiếc bánh thứ hai có đường kính 18 cm được cắt thành 8 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Hãy so sánh diện tích bề mặt của hai miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất và thứ hai.
a) Ta có thể tính diện tích của miếng pizza trong Hình 4a theo góc ở tâm và bán kính của ổ bánh hay không?
b) Chia một hình tròn bán kính R thành 360 phần bằng nhau.
i) Tính diện tích mỗi phần đó.
ii) Tính diện tích phần hình tròn ghép bởi n phần bằng nhau nó trên (Hình 4b).
Tính diện tích hình quạt tròn với bán kính R = 20 cm, ứng với cung 72o.
Tính diện tích của miếng bánh pizza có dạng hình quạt tròn trong Hình 8. Biết OA = 15 cm và \(\widehat {AOB} = {55^o}\).
Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung số đo lần lượt là \({30^o};{90^o};{120^o}\) của hình tròn (O; 12 cm)
Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung có độ dài lần lượt là 8 cm, 15 cm của hình tròn (O; 5 cm)
Hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung 90o có diện tích bằng
A. \(\pi {R^2}\)
B. \(\frac{{\pi {R^2}}}{2}\)
C. \(\frac{{\pi {R^2}}}{4}\)
D. \(\frac{{\pi {R^2}}}{8}\)
Vẽ đường tròn \(\left( {O;2cm} \right)\) và các điểm \(A,B\) thỏa mãn \(OA < 2cm,OB = 2cm\). Nêu nhận xét về vị trí của các điểm \(A,B\) so với đường tròn \(\left( {O;2cm} \right)\).
Quan sát Hình 71, hãy cho biết phần hình tròn \(\left( O \right)\) tô màu xanh được giới hạn bởi hai bán kính và cung nào?
Cho hình quạt tròn \(COD\) giới hạn bởi hai bán kính \(OC,OD\) và cung \(CnD\) sao cho \(OC = OD\) (Hình 74). Hãy tìm số đo cung \(CqD\) ứng với hình quạt đó.
Ta coi mỗi hình tròn bán kính \(R\) là một hình quạt có số đo \(360^\circ \). Tính diện tích hình quạt tròn tâm \(O\), bán kính \(R\), biết số đo cung ứng với hình quạt tròn đó là:
a) \(1^\circ \)
b) \(n^\circ \) (Hình 75).
Hình quạt tô màu đỏ ở Hình 65 có bán kính bằng 2 dm và góc ở tâm bằng \(150^\circ \).
a) Tính diện tích của hình quạt đó theo đơn vị decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
b) Tính chiều dài cung tương ứng với hình quạt tròn đó.
Logo ở Hình 95 có dạng một hình quạt tròn bán kính 8cm và góc ở tâm bằng \(60^\circ \). Tính diện tích mỗi hình sau (theo đơn vị centimét vuông và làm tròn kết quả đến hàng phần mười):
a) Toàn bộ logo;
b) Phần logo màu đỏ có dạng hình viên phân.
Hình 96 biểu diễn vùng biển được chiếu sáng bởi một hải đăng có dạng một hình quạt tròn với bán kính 18 dặm, cung \(AmB\) có số đo \(245^\circ \).
a) Hãy tính diện tích vùng biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ hải đăng theo đơn vị kilomét vuông (lấy 1 dặm = 1609m, \(\pi = 3,14\) và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
b) Giả sử một con thuyền di chuyển dọc theo dây cung có độ dài 28 dặm của đường tròn với tâm là tâm của hình quạt tròn, bán kính 18 dặm. Tính khoảng cách nhỏ nhất từ con thuyền đến hải đăng (theo đơn vị dặm và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính 3cm ứng với cung \({210^o}\).
Trong Hình 5.74, độ dài cạnh của các hình vuông lớn là 10cm. Tính diện tích và chu vi của phần được tô màu.
Hình quạt tròn bán kính R(cm) ứng với cung \({240^o}\) có diện tích bằng \(6\pi \;c{m^2}\). Bán kính R bằng
A. 3cm.
B. 6cm.
C. 9cm.
D. 12cm.
Tại một vòng xoay ngã tư, người ta cần làm các bồn trồng hoa như hình 1. Em hãy tính phần diện tích của 1 bồn hoa ở hình 2 (phần được tô đậm). Biết rằng bán kính của vòng tròn lớn là 7m, vòng tròn nhỏ là 3m, số đo cung tròn đó là \(60^\circ \). (làm tròn đến hàng phần mười)
Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính là 1,672m và bánh xe trước có đường kính là 88cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?
Khi căng một chiếc quạt giấy ta được một hình quạt với kích thước như hình vẽ minh họa. Hãy tính diện tích phần giấy để làm một cái quạt (không tính mép và phần thừa). Làm tròn kết quả tới chữ số thập phân thứ 2.
Cho đường tròn $\left( {O,8\,cm} \right)$, đường kính $AB.$ Điểm \(M \in (O)\) sao cho \(\widehat {BAM} = {60^0}\). Tính diện tích hình quạt $AOM$ .
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh \(2R.\)
Diện tích \(S\) phần màu xanh trong hình vuông \(ABCD\) là
Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB = $ \(4\sqrt 3 \) $cm$ .
Điểm \(C \in (O)\) sao cho \(\widehat {ABC} = {30^0}\). Tính diện tích hình viên phân$AC$ . (Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy).
Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB = $ $3\sqrt 3 $$cm$ . Điểm \(C \in (O)\) sao cho \(\widehat {ABC} = {60^0}\). Tính diện tích hình viên phân$BC$ . (Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy)
Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính \(AB = 2\sqrt 2 \;cm\). Điểm \(C \in (O)\) sao cho \(\widehat {ABC} = {30^0}\). Tính diện tích hình giới hạn bởi đường tròn $\left( O \right)$ và $AC,BC$ .
