Đề bài

Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) $y = x.{e^x}$;

b) $y = {\left( {x + 1} \right)^2}.{e^{ - x}}$;

c) $y = {x^2}.\ln {\rm{x}}$;

d) $y = \frac{x}{{\ln {\rm{x}}}}$.

Phương pháp giải

Các bước để tìm điểm cực trị của hàm số $f\left( x \right)$:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số $f\left( x \right)$.

Bước 2. Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$. Tìm các điểm ${x_i}\left( {i = 1,2,...,n} \right)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm ${x_i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các điểm cực trị của hàm số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Ta có:

${y^\prime } = {\left( {x.{e^x}} \right)^\prime } = {\left( x \right)^\prime }.{e^x} + x.{\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x} + x{e^x} = {e^x}\left( {1 + x} \right)$

$y' = 0$ khi $x = - 1$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$, hàm số không có cực đại.

b) Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{y^\prime } = {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}.{e^{ - x}}} \right)^\prime } = {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right)^\prime }.{e^{ - x}} + {\left( {x + 1} \right)^2}.{\left( {{e^{ - x}}} \right)^\prime }\\ & = 2\left( {x + 1} \right){e^{ - x}} - {\left( {x + 1} \right)^2}.{e^{ - x}} = \left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right){e^{ - x}}\end{array}$

$y' = 0$ khi $x = - 1$ hoặc $x = 1$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ và đạt cực đại tại $x = 1$.

c) Hàm số có tập xác định là $\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có:

${y^\prime } = {\left( {{x^2}.\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } = {\left( {{x^2}} \right)^\prime }.\ln x + {x^2}.{\left( {\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}\ln {\rm{x}} + {x^2}.\frac{1}{x} = x\left( {2\ln {\rm{x}} + 1} \right)$

$y' = 0$ khi $\ln {\rm{x}} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}}$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = {e^{ - \frac{1}{2}}}$, hàm số không có cực đại.

d) Hàm số có tập xác định là $\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có:

${y^\prime } = {\left( {\frac{x}{{\ln {\rm{x}}}}} \right)^\prime } = \frac{{{x^\prime }.\ln x - x.{{\left( {\ln {\rm{x}}} \right)}^\prime }}}{{{{\ln }^2}x}} = \frac{{\ln {\rm{x}} - x.\frac{1}{x}}}{{{{\ln }^2}x}} = \frac{{\ln {\rm{x}} - 1}}{{{{\ln }^2}x}}$

$y' = 0$ khi $\ln {\rm{x}} = 1 \Leftrightarrow x = e$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = e$, hàm số không có cực đại.

Xem thêm : SBT Toán 12 - Cánh diều

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 2017;2018} \right]$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x$ có hai điểm cực trị nằm trong khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: a) \(y = x.{e^x}\); b) \(y = {\left( {x + 1} \right)^2}.{e^{ - x}}\); c) \(y = {x^2}.\ln {\rm{x}}\); d) \(y = \frac{x}{{\ln {\rm{x}}}}\).

Báo lỗi góp ý

Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) \(y = x.{e^x}\);

b) \(y = {\left( {x + 1} \right)^2}.{e^{ - x}}\);

c) \(y = {x^2}.\ln {\rm{x}}\);

d) \(y = \frac{x}{{\ln {\rm{x}}}}\).