Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a,\,{\rm{ }}CA = b,{\rm{ }}AB = c.\) Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC.\) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} .\)

A. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}.\)

B. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2}.\)

C. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}.\)

D. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}.\)

Vì M là trung điểm của BC suy ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM} \)

Khi đó  \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}\)

Chọn A