Cho dãy số (un)(un) biết un=n+1nun=n+1n. Tìm m để dãy số (un)(un) bị chặn dưới bởi m.
Đáp án:
Đáp án:
Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới tại m=u1m=u1.
Xét un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=(1−1n)+1n+1un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=(1−1n)+1n+1.
Ta có: n≥1⇔1n<1⇔1−1n>0n≥1⇔1n<1⇔1−1n>0; n≥1⇒1n+1>0n≥1⇒1n+1>0.
Vậy un+1−un>0un+1−un>0, tức dãy số tăng.
Khi đó, dãy bị chặn dưới bởi u1=1+11=2=mu1=1+11=2=m.
Các bài tập cùng chuyên đề
Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi snsn (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:
s1=200,sn=sn−1+25s1=200,sn=sn−1+25 với n≥2n≥2
a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.
b) Chứng minh (sn)(sn) là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.
Xét tính bị chặn của dãy số (un)(un), với un=2n−1un=2n−1.
Cho dãy số (un)(un) với un=n+1n,∀n∈N∗un=n+1n,∀n∈N∗
a) So sánh unun và 1.
b) So sánh unun và 2.
Xét tính tăng, giảm của dãy số (un)(un) với un=1n+1un=1n+1.
a) Xét dãy số (un)(un) với un=3n−1un=3n−1. Tính un+1un+1 và so sánh với unun.
b) Xét dãy số (vn)(vn) với vn=1n2vn=1n2. Tính vn+1vn+1 và so sánh với vnvn.
Xét tính tăng, giảm của dãy số (un)(un), biết:
a) un=2n−1un=2n−1;
b) un=−3n+2un=−3n+2;
c) un=(−1)n−12nun=(−1)n−12n
Trong các dãy số (un)(un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) un=n−1un=n−1;
b) un=n+1n+2un=n+1n+2;
c) un=sinnun=sinn;
d) un=(−1)n−1n2un=(−1)n−1n2.
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới.
B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên.
C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm.
D. Một dãy số không đổi thì bị chặn.
Chứng minh rằng dãy số (vn)(vn) với vn=13xvn=13x là một dãy số giảm.
Cho dãy số (un)(un) với un=n2un=n2. Tính un+1un+1. Từ đó hãy so sánh un+1un+1 và unun với mọi n∈N∗
Chứng minh rằng dãy số (un) với un=n2+12n2+4 là bị chặn.
Cho dãy số (un) với un=1+1n. Khẳng định un≤2 với mọi n∈N∗ có đúng không?
Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (un), biết:
a) un=n−3n+2
b) un=3n2n.n!
c) un=(−1)n(2n+1)
Chứng minh rằng:
a) Dãy số un với un=n2+2 là bị chặn dưới;
b) Dãy số un với un=−2n+1 là bị chặn trên;
c) Dãy số un với un=1n2+n là bị chặn
Cho dãy số dương (un). Chứng minh rằng dãy số (un) là dãy số tăng khi và chỉ khi un+1un>1 với mọi n∈N∗.
Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?
A. un=sinn
B. un=n(−1)n
C. un=1n
D. un=2n+1
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (un) sau, biết số hạng tổng quát:
a) un=nn+1
b) un=25n
Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2).
a) Gọi u1=25 là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, un là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.
b) Gọi v1=14 là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, vn là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.
Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:
a) (un) với un=2n−1n+1;
b) (xn) với xn=n+24n;
c) (tn) với tn=(−1)n.n2.
Cho hai dãy số (an) và (bn) được xác định như sau: an=3n+1; bn=−5n.
a) So sánh an và an+1,∀n∈N∗.
b) So sánh bn và bn+1,∀n∈N∗.
Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) (an) với an=cosπn;
b) (bn) với bn=nn+1
Cho dãy số (un) với un=1n. So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.
Xét tính tăng, giảm của dãy số (yn) với yn=√n+1−√n.
Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) (an) với an=sin2nπ3+cosnπ4;
b) (un) với un=6n−4n+2
Cho dãy số (un) với un=2n−1n+1.
Chứng minh (un) là dãy số tăng và bị chặn.
Cho dãy số (un) với un=na+2n+1. Tìm giá trị của a để:
a) (un) là dãy số tăng;
b) (un) là dãy số giảm.
Cho dãy số (un) với un=n+1n+2. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng và bị chặn.
B. Dãy số giảm và bị chặn.
C. Dãy số giảm và bị chặn dưới.
D. Dãy số giảm và bị chặn trên.
Xét tính tăng, giảm của dãy số (un) với un=3n−12n.
Xét tính bị chặn của dãy số (un) với un=2n+1n+2.
Cho dãy số (un) biết un=3n−13n+1. Dãy số (un) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?