Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là các hệ số, \(\left( {a > 0} \right)\). Biết rằng \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\), hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{6{a^2}}}{{5{a^2} + 2ab + {b^2}}}\).
Từ \(a > 0\) và \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) xác định bất đẳng thức của \(\frac{b}{a}\).
Chia cả tử và mẫu của P cho \({a^2}\) đưa về ẩn \(\frac{b}{a}\) và tìm GTLN.
Do \(a > 0\) nên \(f(x)\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{b}{{2a}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} + \infty } \right)\).
Từ đây ta có: \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(\frac{{ - b}}{{2a}} \le {\rm{\;}} - 2 \Leftrightarrow \frac{b}{a} \ge 4\).
Ta có \(P = \frac{{6{a^2}}}{{5{a^2} + 2ab + {b^2}}} = \frac{6}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 2\left( {\frac{b}{a}} \right) + 5}} = \frac{6}{{{t^2} + 2t + 5}}\), với \(t = \frac{b}{a} \ge 4\).
Có \({t^2} + 2t + 5 = {\left( {t + 1} \right)^2} + 4 \ge 29\), \(\forall t \ge 4\). Dấu bằng xảy ra khi \(t = 4\).
Do đó \(maxP = \frac{6}{{29}}\), đạt được khi \(\frac{b}{a} = 4\).
