a) Giải phương trình \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\).
b) Tìm nghiệm của phương trình \(\sin x = - \frac{1}{2}\) trên khoảng\((0;\pi )\).
c) Giải phương trình sau: \(\sin 4x + \cos 3x - \cos x = 0\).
a)
- Trường hợp \(\left| m \right| > 1\), phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp \(\left| m \right| \le 1\), tồn tại duy nhất một số \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thỏa mãn \(\sin \alpha = m\). Ta có
\(\sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) Áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản rồi kết hợp điều kiện đã cho để chọn nghiệm thỏa mãn.
c) Sử dụng công thức biến tổng thành tính để làm xuất hiện nhân tử chung: \(\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\) và công thức nhân đôi\(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).
a) Ta có \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{2} = x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{2} = \pi - \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) Ta có \(\sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Theo đề bài:
\(0 < - \frac{\pi }{6} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} < k < \frac{7}{{12}} \Rightarrow \)không tồn tại \(k\).
\(0 < \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{7}{{12}} < k < - \frac{1}{{12}} \Rightarrow \)không tồn tại \(k\).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Ta có: \(\sin 4x + \cos 3x - \cos x = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x - 2\sin 2x\sin x = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin 2x(\cos 2x - \sin x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos 2x = \sin x\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\\cos 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\).
