Đề bài

Giá trị của tổng \(7 + 77 + 777 + ... + 77...7\) bằng

A. \(\frac{{70}}{9}\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right) + 2018\)

B. \(\frac{7}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2018}} - 10}}{9} - 2018} \right)\)

C. \(\frac{7}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018} \right)\)

D. \(\frac{7}{9}\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right)\)

Phương pháp giải

Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(7 + 77 + 777 + ... + 77...7\)

\( = \frac{7}{9}\left( {9 + 99 + 999 + ... + 99...9} \right)\) \( = \frac{7}{9}\left( {10 - 1 + {{10}^2} - 1 + {{10}^3} - 1 + ... + {{10}^{2018}} - 1} \right)\).

\( = \frac{7}{9}\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + ... + {{10}^{2018}} - 2018} \right)\).

Mặt khác,ta có \(10 + {10^2} + {10^3} + ... + {10^{2018}}\) là tổng của một cấp số nhân với \({u_1} = 10\) và công bội \(q = 10\) \( \Rightarrow \)\(10 + {10^2} + {10^3} + ... + {10^{2018}}\)\( = 10\frac{{{{10}^{2018}} - 1}}{9} = \frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9}\).

Do đó \(\frac{7}{9}\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + ... + {{10}^{2018}} - 2018} \right)\)\( = \frac{7}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018} \right)\).

Đáp án B